Demostreu-ho: tan ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / ( 1 + cosx) ^ 2)?

Provar

# tg ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1+ cosx) ^ 2) #

RHS

# = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

# = (((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (1-sin ^ 2x) ^ 2) / (((1 + cosx ^ 2) - (1-cosx) ^ 2) / (1-cos ^ 2x) ^ 2) #

# = ((4sinx) / cos ^ 4x) / ((4cosx) / (sin ^ 4x)) #

# = sin ^ 5x / cos ^ 5x = tan ^ 5x = LHS #

Provat

Aquesta és una de les proves més fàcils de treballar de dreta a esquerra. Començar amb:

# ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

Multiplique el numerador i el denominador de les fraccions incrustades pels "conjugats" (p. Ex., # 1pmsinx # endavant # 1 sinx). Obtindreu això, p. Ex., # (1 + sinx) (1-sinx) = 1-sin ^ 2x #.

# = (((1 + sinx) / ((1-sin ^ 2x) (1-sinx)) - ((1-sinx) / ((1-sin ^ 2x) (1 + sinx))))) (((1 + cosx) / ((1-cos ^ 2x) (1-cosx))) - ((1-cosx) / ((1-cos ^ 2x) (1 + cosx))

Repetiu el pas anterior per simplificar el denominador de les fraccions incrustades:

# = ((((1 + sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2)) - ((1-sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2))) ((((1 + cosx) ^ 2 / ((1-cos ^ 2x) ^ 2)) - ((1-cosx) ^ 2 / ((1-cos ^ 2x) ^ 2)) #

Utilitzeu les identitats # 1-sin ^ 2x = cos ^ 2x # i # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x # aconseguir:

# = ((((1 + sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x)) - ((1-sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x)) / (((1 + cosx) ^ 2 / (sin ^ 4x)) - ((1-cosx) ^ 2 / (sin ^ 4x)) #

Combina les fraccions i la tapa per multiplicar els recíprocs:

# = (((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x)) ((((1 + cosx) ^ 2- (1-cosx) ^ 2) / (pecat ^ 4x)) #

# = ((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / ((1 + cosx) ^ 2- (1-cosx) ^ 2) #

Amplieu els termes quadrats:

# = (cancel·lar (1) + 2sinx + cancel·lar (sin ^ 2x) - (cancel·lar (1) -2sinx + cancel·lar (sin ^ 2x))) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (cancel·lar (1) + 2cosx + cancel (cos ^ 2x) - (cancel·lar (1) -2cosx + cancel (cos ^ 2x))) #

# = (cancel·leu (4) sinx) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (cancel·leu (4) cosx) #

# = color (blau) (tan ^ 5x) #