Sigui P (x_1, y_1) un punt i sigui l la línia amb l'equació ax + per + c = 0.Mostra la distància d de P-> l donada per: d = (ax_1 + per_1 + c) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)? Trobeu la distància d del punt P (6,7) de la línia l amb l’equació 3x + 4y = 11?

Resposta:

#d = 7 #

Explicació:

Deixar # l-> a x + b y + c = 0 # i # p_1 = (x_1, y_1) # un punt no activat # l #.

Suposem això #b ne 0 # i trucant # d ^ 2 = (x-x_1) ^ 2 + (y-y_1) ^ 2 # després de substituir #y = - (a x + c) / b # a # d ^ 2 # tenim

# d ^ 2 = (x - x_1) ^ 2 + ((c + a x) / b + y_1) ^ 2 #. El següent pas és trobar el document # d ^ 2 # mínim pel que fa a # x # així ho trobarem # x # de tal manera que

# d / (dx) (d ^ 2) = 2 (x - x_1) - (2 a ((c + a x) / b + y_1)) / b = 0 #. Això es produeix

#x = (b ^ 2 x_1 - a b y_1-a c) / (a ^ 2 + b ^ 2) # Ara, substituint aquest valor # d ^ 2 # obtenim

# d ^ 2 = (c + a x_1 + b y_1) ^ 2 / (a ^ 2 + b ^ 2) # tan

#d = (c + a x_1 + b y_1) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #

Ara es dóna

# l-> 3x + 4y-11 = 0 # i # p_1 = (6,7) # llavors

#d = (-11 + 3xx6 + 4xx7) / sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = 7 #