Pregunta # 92256

Resposta:

Vegeu l’explicació

Explicació:

Trenqui-ho en dues parts, en primer lloc, la part interna:

# e ^ x #

Això és positiu i augmenta per a tots els nombres reals i va de 0 a # oo # com # x # passa de # -o # a # oo #

El que tenim:

#arctan (u) #

El té una asíntota horitzontal dreta a # y = pi / 2 #. Des de # u = 0 rarr oo #, a # u = 0 # aquesta funció és positiva i augmenta sobre aquest domini, pren un valor de 0 a # u = 0 #, un valor de # pi / 4 # a # u = 1 # i un valor de # pi / 2 # a # u = oo #.

Per tant, es tiraran aquests punts # x = -oo, 0, oo # respectivament i acabem amb un gràfic que sembla així:

gràfic {arctan (i ^ x) -10, 10, -1.5, 3}

Quina és la part positiva del # arctan # la funció s'estén sobre tota la línia real amb el valor esquerre que s’estén en una asíntota horitzontal a # y = 0 #.

Resposta:

Vegeu l’explicació

Explicació:

Domini és # RR #

Simetria

Ni pel que fa a la # x # eix o w.r.t l’origen.

#arctan (e ^ (- x)) # no simplifica a #arctan (e ^ x) #

ni a # -arctan (e ^ x) #

Intercepta

# x # intercepta: cap

No podem aconseguir-ho #y = 0 # perquè això requeriria # e ^ x = 0 #

Però # e ^ x # mai no ho és #0#, només s'apropa #0# com # xrarr-oo #.

Tan, # yrarr0 # com # xrarr-oo # i la # x # eix a una horitzontal

asimptota a l'esquerra.

# y # intercepció: # pi / 4 #

Quan # x = 0 #, obtenim #y = arctan (1) = pi / 4 #

Asimptotes:

Vertical: cap

# arctan # està entre # -pi / 2 # i # pi / 2 # per definició, per tant, mai no ho fa # oo #

Horitzontal:

Esquerra: # y = 0 # com es va discutir anteriorment

Dret: # y = pi / 2 #

Ho sabem, igual # thetararrpi / 2 # amb #theta <pi / 2 #, obtenim #tantheta rarr oo #

així com # xrarroo #, obtenim # e ^ x rarroo #, tan # y = arctan (e ^ x) rarr pi / 2 #

Primera derivada

#y '= e ^ x / (1 + i ^ (2x)) # mai no ho és #0# i mai sense definir, de manera que no hi ha números crítics.

Per cada # x # tenim #y '> 0 # per tant, la funció augmenta # (- oo, oo) #

No hi ha cap extrema local.

Segona derivada

#y '' = (e ^ x (1 + i ^ (2x)) - e ^ x (2e ^ (2x))) / (1 + i ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x + i ^ (3x) -2e ^ (3x)) / (1 + i ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x (1-e ^ (2x))) / (1 + i ^ (2x)) ^ 2 #

#y '' # # mai no està indefinit, i ho és #0# a # x = 0 #

Signe de #y '' # #:

Activat # (- oo, 0) #, obtenim # e ^ (2x) <1 # tan #y ''> 0 # i el gràfic és còncau

Activat # (0, oo) #, obtenim # e ^ (2x)> 1 # tan #y '' <0 # i el gràfic és còncau

La concavitat canvia a # x = 0 #, de manera que el punt d’inflexió és:

# (0, pi / 4) #

Ara dibuixeu el gràfic