Per què no podem integrar x ^ x?

Resposta:

No tenim cap norma per a això.

Explicació:

En integrals, tenim regles estàndard. La regla anti-cadena, la regla anti-producte, la regla antipotència, etc. Però no tenim una per a una funció que tingui una # x # tant a la base com a la potència. Podem prendre la derivada d’ella bé, però intentar prendre la seva integral és impossible a causa de la manca de regles amb què treballaria.

Si obriu Calculadora gràfica Desmos, podeu intentar connectar-vos

# int_0 ^ x a ^ ada #

i ho farà molt bé. Però si intenteu utilitzar la regla anti-poder o la regla antiexponent per fer-ne una gràfica, veureu que falla. Quan vaig intentar trobar-lo (el que encara estic treballant), el meu primer pas va ser treure'l d’aquest formulari i el següent:

# inte ^ (xln (x)) dx #

Això essencialment ens permet utilitzar les regles del càlcul una mica millor. Però fins i tot quan s'utilitza la integració per parts, mai no es desfà de la integral. Per tant, en realitat no obteniu una funció per determinar-la.

Però, com sempre a Math, és divertit experimentar.Així doncs, endavant i proveu, però no massa llarg o dur, se't absorbirà en aquest forat de conill.

Resposta:

Mirar abaix.

Explicació:

#y = x ^ x # es pot integrar. Per exemple

# int_0 ^ 1 x ^ x dx = 0.783430510712135 … #

una altra cosa és tenir ara uns dies, una funció #f (x) # que representa en forma tancada, la primitiva per a # x ^ x # o en altres paraules, de manera que

# d / (dx) f (x) = x ^ x #

Si això fos una funció d’ús comú en problemes tècnics-científics, segurament hauríem inventat un nom i un símbol diferenciats per manipular-lo. Igual que la funció Lambert definida com

#W (x) = x e ^ x #

Resposta:

Si us plau mireu més a baix.

Explicació:

Com ha indicat Cesareo (sense dir), hi ha una certa ambigüitat en "no podem integrar".

La funció #f (x) = x ^ x # és continu # (0, oo) #

i en # 0, oo) # si ho fem #f (0) = 1 #, així que anem a fer-ho. Per tant, la integral definitiva

# int_a ^ b x ^ x dx # existeix per a tothom # 0 <= a <= b #

A més, el teorema fonamental de calulus ens indica que la funció # int_0 ^ x t ^ t dt # té derivats # x ^ x # per #x> = 0 #

El que no podem fer és expressar aquesta funció en una forma agradable, finita i tancada d’expressions algebraiques (o fins i tot de conèixer les funcions transcendentals).

Hi ha moltes coses en matemàtiques que no es poden expressar excepte en una forma que permeti successivament aproximacions millors.

Per exemple:

El número el quadrat del qual és #2# no es pot expressar en forma decimal o fraccionària utilitzant una expressió finita. Així donem-li un símbol, # sqrt2 # i aproximar-lo a qualsevol nivell de precisió desitjat.

La proporció de la circumferència amb el diàmetre d'un cercle no es pot expressar finitament utilitzant una combinació algebraica finita de nombres sencers, de manera que donem-li un nom, #Pi# i aproximar-lo a qualsevol nivell de precisió desitjat.

La solució a # x = cosx # També es pot aproximar a qualsevol grau de precisió desitjat, però no es pot expressar de manera finita. Aquest nombre és (potser) prou important com per rebre un nom.

Com ha dit Cesareo, si és la integral # x ^ x # tenia moltes aplicacions, els matemàtics adoptarien un nom per a això.

Però els càlculs encara requeririen una aproximació infinita.