Com s'integren int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) dx utilitzant la substitució trigonomètrica?

Resposta:

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (i ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1 + sqrt101)) + C #

Explicació:

La solució és una mica llarga !!!

De la data donada #int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) * dx #

#int 1 / ((sqrt (-1) * sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

Tingueu en compte que # i = sqrt (-1) # el nombre imaginari

Deixeu de banda aquest nombre complex durant un temps i procediu a la integral

#int 1 / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

completant el quadrat i fent alguna agrupació:

#int 1 / (sqrt ((i ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100-100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((i ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100) -100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2-100 + 101))) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2 + 1))) * dx #

Primera substitució trigonomètrica: ##

L'angle agut # w amb costat oposat # = e ^ x + 10 # i costat adjacent #=1# amb hipotenusa =#sqrt ((e ^ x + 10) ^ 2 + 1) #

Deixar # e ^ x + 10 = tan w #

# e ^ x dx = sec ^ 2 w # # dw #

# dx = (seg ^ 2w * dw) / e ^ x #

i llavors

# dx = (seg ^ 2w * dw) / tan (w-10) #

La integral esdevé

#int 1 / sqrt (tan ^ 2w + 1) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sqrt (sec ^ 2w) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sec w * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int (secw * dw) / (tan w-10) #

de la trigonometria #sec w = 1 / cos w # i #tan w = sin w / cos w #

La integral esdevé

#int (1 / cos w * dw) / (sin w / cos w-10) # i

#int (dw) / (sin w-10 cos w) #

Segona substitució trigonomètrica:

Deixar # w = 2 tan ^ -1 z #

# dw = 2 * dz / (1 + z ^ 2) #

i també # z = tan (w / 2) #

El triangle dret: l'angle agut # w / 2 # amb costat oposat # = z #

Costat adjacent #=1# i hipotenusa # = sqrt (z ^ 2 + 1) #

De la trigonometria: recordant fórmules de mig angle

#sin (w / 2) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

# z / sqrt (z ^ 2 + 1) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

resoldre per a #cos w #

#cos w = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) #

També utilitzeu la identitat #sin ^ 2w = 1-cos ^ 2w #

segueix això

#sin w = (2z) / (1 + z ^ 2) #

la integral es converteix

#int (dw) / (sin w-10 cos w) = int (2 * dz / (1 + z ^ 2)) / ((2z) / (1 + z ^ 2) -10 * (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2)) #

Simplificació dels resultats integrals a

#int (2 * dz) / (2z-10 + 10z ^ 2) #

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5-1) #

En completar el quadrat:

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5 + 1 / 100-1 / 100-1) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2-101 / 100) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2- (sqrt101 / 10) ^ 2) #

Utilitzeu ara la fórmula #int (du) / (u ^ 2-a ^ 2) = 1 / (2a) * ln ((u-a) / (u + a)) + C #

Deixar # u = z + 1/10 # i # a = sqrt101 / 10 # i incloent-hi la part posterior # i = sqrt (-1) #

Escriviu la resposta final utilitzant variables originals

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (i ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1 + sqrt101)) + C #