Com s'integren int 3 * (csc (t)) ^ 2 / cot (t) dt?

Resposta:

Utilitzeu un # u #-substitució per obtenir # -3lnabs (cot (t)) + C #.

Explicació:

Primer, tingueu en compte que perquè #3# és una constant, podem treure-la de la integral per simplificar:

# 3int (csc ^ 2 (t)) / cot (t) dt #

Ara, i aquesta és la part més important, observeu el derivat de #cot (t) # és # -csc ^ 2 (t) #. Com que tenim una funció i la seva derivada presents en la mateixa integral, podem aplicar una # u # substitució com aquesta:

# u = cot (t) #

# (du) / dt = -csc ^ 2 (t) #

# du = -csc ^ 2 (t) dt #

Podem convertir el positiu # csc ^ 2 (t) # a un negatiu com aquest:

# -3int (-csc ^ 2 (t)) / cot (t) dt #

I aplicar la substitució:

# -3int (du) / u #

Ho sabem #int (du) / u = lnabs (u) + C #, de manera que es fa l’avaluació de la integral. Només hem de revertir el substitut (posem la resposta de nou en termes de # t #) i adjuntar-ho #-3# al resultat. Des de # u = cot (t) #, podem dir:

# -3 (lnabs (u) + C) = - 3lnabs (cot (t)) + C #

I això és tot.

Resposta:

# 3ln | csc 2t -cot 2t | + const. = 3ln | tan t | + const. #

Explicació:

# 3 int csc ^ 2 t / cot t dt = #

# = 3 int (1 / sin ^ 2 t) * (1 / (cos t / sin t)) dt #

# = 3 int dt / (sin t * cos t) #

Recorda que

#sin 2t = 2sint * cost #

Tan

# = 3int dt / ((1/2) sin 2t)

# = 6int csc 2t * dt #

Com es pot trobar en una taula d’integrals

(per exemple, la taula d'integrals que contenen Csc (ax) en SOS Math):

#int csc ax * dx = 1 / aln | cscax-cotax | = ln | tan ((ax) / 2) | #

obtenim aquest resultat

# = 3ln | csc2t-cot2t | + const = 3ln | tan t | + const. #