Com integreu e ^ x * cos (x)?

Resposta:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #

Explicació:

Haureu d’utilitzar la integració per parts dues vegades.

Per #u (x) i v (x) #, IBP es dóna per

#int uv 'dx = uv - int u'vdx

Deixar #u (x) = cos (x) implica u '(x) = -sin (x) #

#v '(x) = e ^ x implica v (x) = e ^ x #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xcos (x) + color (vermell) (inte ^ xsin (x) dx) #

Ara utilitzeu IBP en el terme vermell.

#u (x) = sin (x) implica u '(x) = cos (x) #

#v '(x) = e ^ x implica v (x) = e ^ x #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xcos (x) + e ^ xsin (x) - inte ^ xcos (x) dx #

Agrupeu les integrals:

# 2int e ^ xcos (x) dx = e ^ x (cos (x) + sin (x)) + C #

Per tant

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #

Deixar # I = inte ^ xcosxdx #

Fem servir, La regla de la integració per parts #: intuvdx = uintvdx-int (du) / dxintvdx dx #.

Prenem, # u = cosx i, v = e ^ x #.

Per tant, # (du) / dx = -sinx i, intvdx = e ^ x #. Per tant, # I = e ^ xcosx + inte ^ xsinxdx = e ^ xcosx + J, J = inte ^ xsinxdx #.

Trobar # J #, apliquem la mateixa regla, però, ara, amb # u = sinx #, &, # v = e ^ x #, obtenim,

# J = e ^ xsinx-inte ^ xcosxdx = e ^ xsinx-I #.

Sub.ing this in # I, tenim, # I = e ^ xcosx + e ^ xsinx-I #, és a dir, # 2I = e ^ x (cosx + sinx) #, o, # I = e ^ x / 2. (Cosx + sinx) #.

Gaudeix de les matemàtiques.

Resposta:

# e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #.

Explicació:

Deixar # I = e ^ xcosxdx, i, J = inte ^ xsinxdx #

Ús d’IBP #; intuvdx = uintvdx-int (du) / dxintvdx dx #, amb,

# u = cosx i, v = e ^ x #, obtenim, # I = e ^ xcosx-int (-sinx) e ^ xdx = e ^ xcosx + inte ^ xsinxdx #, és a dir, # I = e ^ xcosx + J rArr I-J = e ^ xcosx …. …………….. (1) #

De nou per IBP, a # J # obtenim, # J = e ^ xsinx-inte ^ xcosx #, així, # J = e ^ xsinx-I rArr J + I = e ^ xsinx …………….. (2) #

Resoldre #(1) & (2)# per #I i J #, tenim, # I = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C, i, J = e ^ x / 2 (sinx-cosx) + K #

Gaudeix de les matemàtiques.