Com integreu això? dx (x²-x + 1) estic encallat en aquesta part (imatge carregada)

Resposta:

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Explicació:

Continuant …

Deixar # 3/4 u ^ 2 = (x-1/2) ^ 2 #

# => sqrt (3) / 2 u = x-1/2 #

# => sqrt (3) / 2 du = dx #

# => int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du #

# => sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du #

# => (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du #

Utilitzant una antiderivativa, el que hauria de ser compromès amb la memòria …

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) u + c #

# => u = (2x-1) / sqrt3 #

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Aquesta és una petita integral poc complicada, i la solució no sembla òbvia al principi. Atès que es tracta d’una fracció, podríem tractar d’utilitzar la tècnica de fraccions parcials, però un anàlisi ràpid revela que això no és possible ja # x ^ 2-x + 1 # no és factible.

Intentarem que aquesta integració en una forma que puguem integrar realment. Fixeu-vos en la similitud entre # int1 / (x ^ 2-x + 1) dx # i # int1 / (x ^ 2 + 1) dx #; sabem que aquesta última integral es valora # arctanx + C #. Per tant, intentarem aconseguir-ho # x ^ 2-x + 1 # en el formulari #k (x-a) ^ 2 + 1 #, i després aplicar el # arctanx # regla.

Haurem de completar el quadrat # x ^ 2-x + 1 #:

# x ^ 2-x + 1 #

# = x ^ 2-x + 1/4 + 1-1 / 4 #

# = (x-1/2) ^ 2 + 3/4 #

# = (x-1/2) ^ 2 + (sqrt (3) / 2) ^ 2 #

# = (sqrt (3) / 2) ^ 2 ((x-1/2) ^ 2 / (sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1) #

# = (sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) #

(molt desordenat, ho sé)

Ara que el tenim a la forma desitjada, podem procedir de la manera següent:

# int1 / (x ^ 2-x + 1) dx = int1 / ((sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1)) dx #

# = 4 / 3int1 / (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) dx #

# = 4 / 3int1 / ((((2x-1) / (sqrt (3))) ^ 2 + 1) dx #

# = 4/3 * (sqrt (3) / 2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) + C #

# = (2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) / sqrt (3) + C #