Quina és la forma de vèrtex de 4y = 5x ^ 2 -7x +3?

Resposta:

# y = color (verd) (5/4) (color x (vermell) (7/10)) ^ 2 + color (blau) (11/80) #

Explicació:

Recordeu que el forma de vèrtex (el nostre objectiu) és en general

#color (blanc) ("XXX") y = color (verd) m (color x (vermell) a) ^ 2 + color (blau) b # amb vèrtex a # (color (vermell) a, color (blau) b) #

Donat

#color (blanc) ("XXX") 4y = 5x ^ 2-7x + 3 #

Hem de dividir tot #4# aïllar # y # al costat dret

#color (blanc) ("XXX") y = 5 / 4x ^ 2-7 / 4x + 3/4 #

Ara podem extreure el document #color (verd) m # factor dels dos primers termes:

#color (blanc) ("XXX") y = color (verd) (5/4) (x ^ 2-7 / 5x) + 3/4 #

Volem escriure # (x ^ 2-7 / 5x) # com un binomi quadrat mitjançant la inserció d’una constant (que s’ha de restar en un altre lloc).

Recordeu que el binomi quadrat

#color (blanc) ("XXX") (x + p) ^ 2 = (x ^ 2 + (2p) x + p ^ 2) #

des del coeficient de la # x # terme de # (x ^ 2-7 / 5x) # és #(-7/5)#

el nostre valor per # 2p = -7 / 5 rarr p = -7 / 10 rarr p ^ 2 = 49/100 #

Per tant, cal inserir un terme de #color (magenta) ((- 7/10) ^ 2) = color (magenta) (49/100) # en el factor # (x ^ 2-7 / 5x) # fer-ho # (x ^ 2-7 / 5 + color (magenta) ((- 7/10) ^ 2))

… però recordeu que aquest factor es multiplica #color (verd) (5/4) #

per tant, per equilibrar les coses, haurem de restar #color (verd) (5/4) xx color (magenta) (49/100) = color (marró) (49/80) #

La nostra equació sembla ara

#color (blanc) ("XXX") y = color (verd) (5/4) (x ^ 2-7 / 5 + color (magenta) ((- 7/10) ^ 2)) + 3 / 4- color (marró) (49/80) #

Escriure-ho amb un binomi quadrat i simplificar els termes constants:

#color (blanc) ("XXX") y = color (verd) (5/4) (color x (vermell) (7/10)) ^ 2 + color (blau) (11/80) #

que és la nostra forma de vèrtex requerida amb el vèrtex a # (color (vermell) (7/10), color (blau) (11/80)) #

A efectes de verificació, aquí es mostra un gràfic de l’equació original:

Resposta:

# y = 5/4 (x-7/10) ^ 2 + 11/80 #

Explicació:

# "l'equació d'una paràbola en" color (blau) "forma de vèrtex" # és.

#color (vermell) (barra (ul (| color (blanc) (2/2) color (negre) (y = un (x-h) ^ 2 + k) color (blanc) (2/2) |))) # #

# "on" (h, k) "són les coordenades del vèrtex i un" #

# "és un multiplicador" #

# "per expressar" 5x ^ 2-7x + 3 "en aquesta forma"

# "utilitzeu el mètode de" color (blau) "completant el quadrat" #

# • "el coeficient del terme" x ^ 2 "ha de ser de 1" #

# rArr5 (x ^ 2-7 / 5x + 3/5) #

# • "afegir / restar" (coeficient 1/2 del terme "x") ^ 2 "a" #

# x ^ 2-7 / 5x #

# 5 (x ^ 2 + 2 (-7/10) xcolor (vermell) (+ 49/100) color (vermell) (- 49/100) +3/5) #

# = 5 (x-7/10) ^ 2 + 5 (-49 / 100 + 3/5) #

# = 5 (x-7/10) ^ 2 + 11/20 #

# rArr4y = 5 (x-7/10) ^ 2 + 11/20 #

# rArry = 1/4 5 (x-7/10) ^ 2 + 11/20 #

#color (blanc) (rArry) = 5/4 (x-7/10) ^ 2 + 11/80 #