Per què no podeu tenir zero a la potència de zero?

Aquesta és una pregunta molt bona. En general, i en la majoria de situacions, els matemàtics defineixen #0^0 = 1#.

Però aquesta és la resposta curta. Aquesta pregunta s’ha debatut des de l’època d’Euler (és a dir, centenars d’anys).

Sabem que qualsevol nombre de zero no elevat a la #0# el poder és igual #1 #

# n ^ 0 = 1 #

I que zero augmenta fins a un nombre diferent de zero #0#

# 0 ^ n = 0 #

En algun moment #0^0# es defineix com a indeterminat, és a dir, en alguns casos, sembla que és igual a #1# i altres #0.#

Dues fonts que he utilitzat són:

www.khanacademy.org/math/cc-seventh-grade-math/cc-7th-negative-numbers-multiply-and-divide/cc-7th-exponents-negative-base/v/powers-of- zero

Bé, podria tenir alguna cosa així #0^0#. En general, els matemàtics surten #0^0# indefinit. Hi ha tres consideracions que poden portar a algú a definir una definició #0^0#.

El problema (si es tracta d'un problema) és que no estan d'acord en què hauria de ser la definició.

Consideració 1:

Per a qualsevol número # p # un altre que #0#, tenim # p ^ 0 = 1 #.

Aquesta és en realitat una definició de l’exponent zero. És una definició escollida per bones raons. (I no "trenca" l’aritmètica.)

Aquí teniu una de les bones raons: definir # p ^ 0 # ser #1# ens permet mantenir (i ampliar) les regles per treballar amb exponents, Per exemple, #(5^7)/(5^3)=5^4# Això funciona per cancel·lació i també per la regla # (p ^ n) / (p ^ m) = p ^ (n-m) # per #n> m #.

I què? #(5^8)/(5^8)#?

La cancel·lació (reducció de la fracció) ens proporciona #1#. Arribem a mantenir la regla de "restar els exponents" si ho fem definir #5^0# ser #1#.

Per tant, potser hauríem d’utilitzar la mateixa regla per definir-la #0^0#.

Però…

Consideració 2

Per a qualsevol exponent positiu, # p #, tenim # 0 ^ p = 0 #. (Això és no una definició, però un fet que podem demostrar.)

Per tant, si és cert per als exponants positius, potser hauríem d’ampliar-la a l’exemple #0# exponent i definir #0^0=0#.

Consideració 3

Hem examinat les expressions: # x ^ 0 # i # 0 ^ x #.

Ara mireu l’expressió # x ^ x #. Aquí teniu el gràfic de # y = x ^ x #:

gràfic {y = x ^ x -1.307, 3.018, -0.06, 2.103}

Una de les coses que podeu notar sobre això és quan # x # està molt a prop #0# (però encara positiu), # x ^ x # està molt a prop #1#.

En alguns camps de les matemàtiques, això és un bon motiu definir #0^0# ser #1#.

Notes finals

La definició és important i poderosa, però no es pot utilitzar de forma descuidada. He esmentat "trencar aritmètica". Qualsevol intent de fer-ho definir divisió de manera que la divisió per #0# està permès trencarà alguna part important de l’aritmètica. Qualsevol intent.

Última nota: les definicions de #x ^ (- n) = 1 / (x ^ n) # i # x ^ (1 / n) = arrel (n) x # també estan motivats en part pel desig de mantenir les nostres regles familiars per treballar amb exponents.