Resposta:
Feu una gran quantitat d’àlgebra després d’aplicar la definició de límit per trobar que la inclinació a # x = 3 # és #13#.
Explicació:
La definició de límit de la derivada és:
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (f (x + h) -f (x)) / h #
Si avaluem aquest límit # 3x ^ 2-5x + 2 #, obtindrem una expressió per al derivat d’aquesta funció. La derivada és simplement el pendent de la línia tangent en un punt; per tant, avaluant la derivada a # x = 3 # ens donarà la inclinació de la línia tangent a # x = 3 #.
Dit això, comencem:
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (3 (x + h) ^ 2-5 (x + h) + 2- (3x ^ 2-5x + 2)) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (3 (x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) -5x-5h + 2-3x ^ 2 + 5x-2) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (cancel·leu (3x ^ 2) + 6hx + 3h ^ 2-cancel·la (5x) -5h + cancel·la (2) -cancelar (3x ^ 2) + cancel·lar (5x) -cancel (2)) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (6hx + 3h ^ 2-5h) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (cancel·leu (h) (6x + 3h-5)) / cancel·leu (h) #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) 6x + 3h-5 #
Avaluant aquest límit a # h = 0 #, #f '(x) = 6x + 3 (0) -5 = 6x-5 #
Ara que tenim la derivada, només hem de connectar # x = 3 # per trobar la inclinació de la línia tangent allà:
#f '(3) = 6 (3) -5 = 18-5 = 13 #
Resposta:
Consulteu la secció d’explicacions a continuació si usen el vostre professor / llibre de text #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) #
Explicació:
Algunes presentacions del càlcul usen, per a la definició de la inclinació de la línia tangent al gràfic de #f (x) # al punt on # x = un # és #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) # sempre que existeixi el límit.
(Per exemple, la vuitena edició de James Stewart Càlcul pàg. 106. A la pàgina 107, dóna l'equivalent #lim_ (hrarr0) (f (a + h) -f (a)) / h #.)
Amb aquesta definició, la inclinació de la línia tangent al gràfic de #f (x) = 3x ^ 2-5x + 2 # al punt on # x = 3 # és
#lim_ (xrarr3) (f (x) -f (3)) / (x-3) = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2 - 3 (3) ^ 2-5 (3) +2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2-27 + 15-2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x-12) / (x-3) #
Tingueu en compte que aquest límit té una forma indeterminada #0/0# perquè #3# és un zero del polinomi del numerador.
Des de #3# és un zero, ho sabem # x-3 # és un factor. Per tant, podem factoritzar, reduir i intentar avaluar de nou.
# = lim_ (xrarr3) (cancel·la ((x-3)) (3x + 4)) / cancel·la ((x-3)) #
# = lim_ (xrarr3) (3x + 4) = 3 (3) +4 = 13 #.
El límit és #13#, de manera que la inclinació de la línia tangent a # x = 3 # és #13#.
