El recompte en un cultiu bacterià va ser de 700 després de 20 minuts i 1000 després de 40 minuts. Quina era la mida inicial de la cultura?

Resposta:

490 microorganismes.

Explicació:

Assumiré un creixement exponencial de bacteris. Això vol dir que podem modelar el creixement amb una funció exponencial:

#f (t) = A_0e ^ (kt) #

on # k # és la constant de creixement i # A_0 # és la quantitat inicial de bacteris.

Sub els dos valors coneguts a la funció per obtenir dues equacions:

# 700 = A_0e ^ (20k) # (1)

# 1000 = A_0e ^ 40k # (2)

Dividiu (2) per (1) per trobar # k #:

# 1000/700 = (cancel·leu (A_0) e ^ (40k)) / (cancel·leu (A_0) e ^ (20k)) #

# 10/7 = e ^ (40k-20k) = e ^ (20k) #

Prengui el registre natural dels dos costats per aïllar-lo # k #:

#ln (10/7) = cancel·lar (ln) cancel·lar (e) ^ (20k) #

#ln (10/7) = 20k #

# k = ln (10/7) / 20 #

Ara que tenim la constant de creixement, # k #, podem substituir un dels punts per resoldre l’import inicial, # A_0 #:

#(40,1000)#

# 1000 = A_0e ^ (ln (10/7) / 20 * 40) #

# A_0 = 1000 / e ^ (0,0178 * 40) = 490 #

Resposta:

La mida inicial de la cultura era #490#

Explicació:

El creixement es pot considerar com una progressió geomètrica amb la mateixa taxa de creixement després de cada interval de #20# minuts.

La taxa de creixement pot ser determinada per #1000/700 =10/7#

Pel que fa a la mida de la població inicial # (x) #

Això vol dir:

#x xx 10/7 rarr 700 xx 10/7 rarr 1000 #

# 0 "min" color (blanc) (xxx) 20 "min" de color (blanc) (xxx) 40 "mins" #

Així doncs, si revertim el procés que acabem de dividir #10/7#

#x larr 10/7 div 700 larr 10/7 div larr 1000 #

Recorda que #div 10/7 = xx 7/10 #

# 1000 xx 7/10 = 700 #

# 700 xx 7/10 = 490 #