Què és la GDC (2 ^ 32-2 ^ 24 + 2 ^ 16-2 ^ 8 + 1, 2 ^ 8 + 1)?

Resposta:

El màxim divisor comú de #2^32-2^24+2^16-2^8+1# i #2^8+1# és #1#

Explicació:

Tingues en compte que:

#257 = 2^8+1 = 2^(2^3)+1#

és un nombre primer: de fet, un dels pocs primers nombres coneguts de Fermat.

Així que els únics factors comuns possibles de #2^8+1# i #2^32-2^24+2^16-2^8+1# són #1# i #257#.

Tanmateix, com heu indicat a la pregunta:

#2^32-2^24+2^16-2^8+1 = (2^40+1)/(2^8+1)#

és de la forma:

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x ^ 5 + y ^ 5) / (x + y) #

L'únic factor # (x + y) = 2 ^ 8 + 1 # de #2^40+1# correspon a la cinquena arrel real de la unitat i # (x + y) # no és automàticament un factor de la resta de qüestions # x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # els altres factors lineals són complexos no reals.

Podem dividir manualment # x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # per # x + y # per obtenir una resta polinòmica i després substituir-la # x = 2 ^ 8 # i # y = 1 # comprovar que aquest no sigui un cas especial …

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x + y) (x ^ 3-2x ^ 2y + 3xy ^ 2-4y ^ 3) + 5y ^ 4 #

Així que la resta és:

# 5y ^ 4 = 5 (color (blau) (1)) ^ 4 = 5 #

Com que la resta no és zero, #2^32-2^24+2^16-2^8+1# i #2^8+1# no tenen un factor comú més gran que #1#.