Psi (x, t) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) nova pregunta ?

#a) #

Només heu de prendre #Psi ^ "*" Psi #.

#color (blau) (Psi ^ "*" Psi) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) ^ "*" sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ (iom_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ (iomega_2t) sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = 1 / Lsin ^ 2 ((pix) / L) + 1 / L ((pix) / L) sin ((2 píxels) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + 1 / L sin ((pix) / L) sin ((2 píxels) / L) e ^ (i (omega_2-omega_1) t) + 1 / L sin ^ 2 ((2 píxels) / L) #

# = color (blau) (1 / L sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2 píxels) / L) + 1 / L sin ((pix) / L) pecat ((2 píxels) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + e ^ (i (omega_2-omega_1) t) #

#b) #

El període es pot trobar amb el mínim esforç, simplement sabent primer les energies, que són constants del moviment.

L'energia de # phi_1 = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) # és # E_1 = (1 ^ 2pi ^ 2ℏ ^ 2) / (4mL ^ 2) #, i l'energia de # phi_2 # és # 4E_1 #. Per tant, la freqüència # omega_2 # de # phi_2 # és quatre vegades la de # phi_1 # (# omega_1 #).

Com a resultat, el període # T_1 = (2pi) / (omega_1) # de # phi_1 # és quatre vegades la de # phi_2 # (# T_2 = (2pi) / (omega_2) #, i també és un període de # phi_2 #.

El període és així #color (blau) (T = (2pi) / (omega_1)) #.

#c) #

Us deixaré connectar aquest en tu mateix com #t _ "*" = pi / 2 (E_2 E_1) #. No necessiteu fer res amb ell …

Ho sabem #T = (2pi) / (omega_1) #, i això # (iEt) / ℏ = pocegat #, tan

#E_n = omega_nℏ #.

Com a resultat, # pi / (2 (E_2-E_1)) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) #

i

#color (blau) (t _ "*" / T) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2pi) #

# = 1 / (2 (4omega_1-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2) #

# = omega_1 / (4ℏ (3omega_1)) # #

# = color (blau) (1 / (12ℏ)) #

#d) #

La probabilitat de trobar la partícula en # 0, L / 2 # es dóna com

#int_ (0) ^ (L / 2) Psi ^ "*" Psidx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2 píxels) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ((pix) / L) sin ((2 píxels) / L) e ^ (- 3iomega_1t) + e ^ (3iomega_1t) dx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2sin ((pix) / L) sin ((2 píxels) / L) cos (3omega_1t) dx #

Els dos primers termes són simètrics amb la meitat de l'amplitud i el rendiment #50%# en general.

El tercer terme tindria una probabilitat d'estat estacionari # 4 / (3pi) #, i # cos # és un factor de fase arbitrari. Per tant, la probabilitat global és

# = color (blau) (0.50 + 4 / (3pi) cos (3omega_1t)) #

#e) #

#color (blau) (<< x >>) = << Psi | x | Psi >> = << xPsi | Psi >>

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2xsin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

No hi ha cap solució trivial a això … Això resulta ser:

# = L / (4pi ^ 2) + L / 8 + (2L) / (3pi) - (8L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t) #

# = color (blau) (((2 + pi ^ 2) L) / (8pi ^ 2) + ((6pi - 8) L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t)) #

#f) #

A #x = L / 2 #, el # sin els termes van a #sin (pi / 2) = 1 i per a #sin (pi) = 0 #, respectivament.

Des de #sin (pi) = 0 #, la part dependent de temps de #Psi ^ "*" Psi # desapareix i la part independent del temps es manté # 1 / L # com la densitat de probabilitat.