Resposta:
# x = arctan (-3) + 180 ^ circc o x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k quad # per a sencer # k. #
Explicació:
He treballat això de dues maneres diferents, però crec que aquesta tercera manera és la millor. Hi ha diverses fórmules de doble angle per al cosinus. No ens deixem temptar per cap d'ells. Evitem també les equacions de quadrats.
#cos 2x + 2 sin 2x + 2 = 0 #
#cos 2x + 2 sin 2x = -2 #
La combinació lineal de cosinus i sinus és un cosinus de fase desplaçada.
Deixar # r = sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2} # i
# theta = text {Arc} text {tan} (2/1) #
He indicat la tangent inversa principal, aquí al primer quadrant, al voltant # theta = 63,4 ^ circ #. Estem segurs
#r cos theta = sqrt {5} (1 / sqrt {5}) = 1
# r sin theta = sqrt {5} (2 / sqrt {5}) = 2
Per tant, podem reescriure la nostra equació
#sqrt {5} ((1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x) = -2 #
# (1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x = -2 / sqrt {5} #
# cos 2x cos theta + sin 2x sin theta = -2 / sqrt {5} #
#cos (2x - theta) = sin (-theta) #
#cos (2x - theta) = cos (90 ^ circ + theta) #
Recordeu sempre la solució general a #cos x = cos a # és # x = pm a + 360 ^ circ k quad # per a sencer # k #.
# 2x - theta = pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# 2x = theta pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circc #
# x = theta / 2 pm (45 ^ circ + theta / 2) + 180 ^ circ k #
Prenent els signes un a la vegada, # x = theta + 45 ^ circ + 180 ^ circ k o x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
#phi = theta + 45 ^ circ # és una constant que podem intentar obtenir una millor expressió per:
#tan (phi) = tan (arctan (2) + 45 ^ circ) #
# = {tan arctan (2) + tan (45 ^ circ)} / {1- tan (arctan (2)) tan (45 ^ circ)} = {2 + 1} / {1 - 2} = -3 #
Sabem # phi # es troba en el segon quadrant, no en el rang habitual del valor principal.
#phi = text {Arc} text {tan} (- 3) + 180 ^ circ #
Això resulta no importar perquè afegim # 180 ^ circ k # a # phi # en la solució general de totes maneres. Posar-ho tot junts, # x = arctan (-3) + 180 ^ circc o x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
No hem de ser meticulosos sobre el valor principal de l’arctan; ja que afegim # 180 ^ circ k # qualsevol valor ho farà. Podríem escriure el primer # x = arctan (-3) # amb el # 180 ^ circ k # implicat, però deixem-ho aquí.
