Resposta:
No crec que aquesta equació sigui vàlida. Estic assumint #abs (z) # és la funció de valor absolut
Explicació:
Prova amb dos termes, # z_1 = -1, z_2 = 3 #
#abs (z_1 + z_2) = abs (-1 + 3) = abs (2) = 2 #
#abs (z_1) + abs (z_2) = abs (-1) + abs (3) = 1 + 3 = 4 #
Per tant
#abs (z_1 + z_2)! = abs (z_1) + abs (z_2) #
#abs (z_1 + … + z_n)! = abs (z_1) + … + abs (z_n) #
Potser vol dir la desigualtat del triangle per a números complexos:
# | z_1 + z_2 + … + z_ n | el | z_1 | + | z_2 | + … + | z_n | #
Podem abreviar-ho
# | sum z_i | le sum | z_i | #
on són les sumes #sum_ {i = 1} ^ n #
Lema. # text {Re} (z) le | z | #
La part real no és mai gran que la magnitud. Deixar # z = x + iy # per alguna cosa real # x # i # y #. Clarament # x ^ 2 le x ^ 2 + y ^ 2 # i prenent arrels quadrades # x le sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #. La magnitud sempre és positiva; # x # pot o no ser; En qualsevol cas, mai no és més que la magnitud.
Utilitzaré la barra superior per conjugar. Aquí tenim un nombre real, la magnitud quadrada, que és igual al producte dels conjugats.El truc és que és igual a la seva pròpia part real. La part real de la suma és la suma de les parts reals.
# | sum z_i | ^ 2 = suma_i z_i barra (sum_j z_j) = text {Re} (suma_i z_i barra (sum_j z_j)) = sum_i text {Re} (z_i barra (sum_j z_j)) #
Pel nostre lema, i la magnitud del producte que és el producte de les magnituds, i la magnitud dels conjugats són iguals,
# | sum z_i | ^ 2 le sum_i | z_i barra (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | barra (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | sum_j z_j | #
Podem cancel·lar un factor de la magnitud de la suma # | sum z_i | #, que és positiu, conservant la desigualtat.
# | sum z_i | le sum | z_i | #
Això és el que volíem demostrar.
