Sigui D = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 on a i b siguin enters positius successius i c = ab. Com mostrareu que sqrtD és un enter positiu senar?

Resposta:

#D = (a ^ 2 + a + 1) ^ 2 # que és el quadrat d'un enter senar.

Explicació:

Donat # a #, tenim:

#b = a + 1 #

#c = ab = a (a + 1) #

Tan:

#D = a ^ 2 + (a + 1) ^ 2 + (a (a + 1)) ^ 2 #

# = a ^ 2 + (a ^ 2 + 2a + 1) + a ^ 2 (a ^ 2 + 2a + 1) #

# = a ^ 4 + 2a ^ 3 + 3a ^ 2 + 2a + 1 #

# = (a ^ 2 + a + 1) ^ 2 #

Si # a # és estrany llavors ho és # a ^ 2 # i per tant # a ^ 2 + a + 1 # és estrany.

Si # a # és encara així ho és # a ^ 2 # i per tant # a ^ 2 + a + 1 # és estrany.