Pregunta # 27939

Resposta:

Com ha assenyalat Sudip Sinha # -1 + sqrt3i # NO és un zero. (Vaig deixar de comprovar-ho.) Els altres zeros són # 1-sqrt3 i # i #1#.

Explicació:

Com que tots els coeficients són nombres reals, tots els zeros imaginaris han de tenir lloc en parells conjugats.

Per tant, # 1-sqrt3 i # és un zero.

Si # c # és un zero llavors # z-c # és un factor, per la qual cosa podríem multiplicar

# (z- (1 + sqrt3 i)) (z- (1-sqrt3 i)) # aconseguir # z ^ 2-2z + 4 #

i després es divideixen #P (z) # per aquest quadràtic.

Però és més ràpid considerar el possible zero racional per a # P # primer. O afegiu els coeficients per veure-ho #1# és també un zero.

Resposta:

#1# i # 1 - sqrt3 i #

Explicació:

Hi ha un error en la vostra pregunta. L’arrel hauria de ser # 1 + sqrt3 i #. Podeu comprovar-ho posant el valor a l’expressió. Si és una arrel, l’expressió hauria d’avaluar-se a zero.

L’expressió té tots els coeficients reals, de manera que pel teorema de conjugats arrels complexes (http://en.wikipedia.org/wiki/comlex_conjugate_root_roorem) tenim que l’altra arrel complexa és # 1 - sqrt3 i #, Clarament, la tercera arrel (per exemple, # a #) ha de ser real, ja que no pot tenir un conjugat complex; en cas contrari, hi haurà 4 arrels, cosa que no és possible per a una equació de tercer grau.

Nota

# (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

# = ((z - 1) + sqrt3 i) ((z - 1) - sqrt3 i) #

# = ((z - 1) ^ 2 - (sqrt3 i) ^ 2) # (Des de # (z + a) (z - a) = z ^ 2 - a ^ 2 #.)

# = z ^ 2 - 2z + 1 - 3 (-1) #

# = z ^ 2 - 2z + 4 #

Tractarem d’obtenir aquest factor a l’expressió.

Podem escriure:

# P (z) = z ^ 3 - 3z ^ 2 + 6z - 4 #

# = z (z ^ 2 - 2z + 4) - 1 (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

Resposta:

Com a introducció, crec que l’arrel hauria de ser #color (blau) (1 + sqrt3) # i no #color (vermell) (- 1 + sqrt3) #

Sobre aquesta base la meva resposta és:

#z a {1, "" 1 + sqrt3, "" 1-sqrt3} # #

Explicació:

Utilitzant la idea de conjugats complexos i una altra trucs frescos.

#P (z) # és un polinomi de grau #3#. Això implica que només hauria de tenir #3# arrels.

Un fet interessant sobre arrels complexes és que mai no es produeixen sols. Sempre es produeixen a parells conjugats.

Així que si # 1 + isqrt3 # és una arrel, després el seu conjugat: # 1-isqrt3 # segurament també és una arrel!

I com que només queden una arrel més, podem anomenar aquesta arrel # z = un #.

No és un nombre complex perquè les arrels complexes sempre es produeixen en parelles.

I ja que aquest és l’últim dels #3# arrels, no hi pot haver cap altre parell després del primer.

Al final els factors de #P (z) # s’han trobat fàcilment # z- (1 + isqrt3) "," z- (1-isqrt3) "i" (z-a) #

Nota: Tingueu en compte que la diferència entre una arrel i un factor és que:

- Podria ser una arrel # z = 1 + i #

Però el factor corresponent seria # z- (1 + i) #

El segon truc és que, per factoring #P (z) # hauríem d’obtenir alguna cosa així:

#P (z) = z- (1 + isqrt3) z- (1-isqrt3) (z-a) #

A continuació, expandiu les claus, #P (z) = z ^ 2-z (1 + isqrt3 + 1-isqrt3) + (1 + isqrt3) (1-isqrt3) (z-a) #

# = z ^ 2-z (2) + (1 + 3) (z-a) #

# = z ^ 2-2z + 4 (z-a) #

# = z ^ 3 + z ^ 2 (-a-2) + z (2a + 4) -4a #

A continuació, equiparem això amb el polinomi original #P (z) = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

# => z ^ 3 + z ^ 2 (-a + 2) + z (-2a + 4) -4a = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

Atès que els dos polinomis són idèntics, equiparem els coeficients de # z ^ 3 #, # z ^ 2 #, # z ^ 1 #i # z ^ 0 #(el terme constant) a cada costat,

En realitat, només hem de triar una equació i solucionar-la # a #

Igualant els termes constants, # => - 4a = -4 #

# => a = 1 #

Per tant, l'última arrel és #color (blau) (z = 1)