Com s'escriu un polinomi amb funció de grau mínim en forma estàndard amb coeficients reals els zeros inclouen -3,4 i 2-i?

Resposta:

#P (X) = aq (X + 3) (X-4) (X-2 + i) (X-2-i) # amb #aq a RR #.

Explicació:

Deixar # P # sigueu el polinomi de què parleu. Assumeixo #P! = 0 # o seria trivial.

P té coeficients reals, per tant #P (alfa) = 0 => P (baralfa) = 0 #. Significa que hi ha una altra arrel per a P, #bar (2-i) = 2 + i, per tant d’aquesta forma per a # P #:

#P (X) = a (X + 3) ^ (a_1) * (X-4) ^ (a_2) * (X - 2 + i) ^ (a_3) * (X-2-i) ^ (a_4) * Q (X) # amb #a_j a NN #, #Q en RR X # i #a a RR # perquè volem # P # tenir coeficients reals.

Volem el grau de # P # ser el més petit possible. Si #R (X) = a (X + 3) ^ (a_1) (X-4) ^ (a_2) (X - 2 + i) ^ (a_3) (X-2-i) ^ (a_4) # llavors #deg (P) = deg (R) + deg (Q) = suma (a_j + 1) + deg (Q) #. #Q! = 0 # tan #deg (Q)> = 0 #. Si volem # P # llavors, tenir el mínim grau possible #deg (Q) = 0 # (# Q # és només un nombre real # q #), per tant #deg (P) = deg (R) # i aquí fins i tot podem dir això #P = R #. #deg (P) # serà el més petit possible si cadascun d’ells #a_j = 0 #. Tan #deg (P) = 4 #.

Així, de moment, #P (X) = a (X + 3) (X-4) (X - 2 + i) (X-2-i) q #. Desenvolupem això.

#P (X) = aq (X ^ 2 - X - 12) (X ^ 2-4X + 5) a RR X #. Aquesta expressió és, doncs, la millor # P # podem trobar amb aquestes condicions!