Resposta:
# "No hi ha cap factorització fàcil aquí. Només un mètode general"
# "per resoldre una equació cúbica ens pot ajudar aquí." #
Explicació:
# "Podríem aplicar un mètode basat en la substitució de Vieta." #
# "Dividint pels primers rendiments del coeficient:" #
# x ^ 3 + 2 x ^ 2 - (13/2) x + 3 = 0 #
# "Substituint" x = y + p "a" x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c "produeix:" #
# y ^ 3 + (3p + a) y ^ 2 + (3p ^ 2 + 2ap + b) y + p ^ 3 + ap ^ 2 + bp + c = 0 #
# "si prenem" 3p + a = 0 "o" p = -a / 3 ", el primer coeficient" # # "es converteix en zero i obtenim:" #
# => y ^ 3 - (47/6) i + (214/27) = 0
# "(amb" p = -2/3 ")" #
# "Substituint" y = qz "a" y ^ 3 + b y + c = 0 ", produeix:" #
# z ^ 3 + b z / q ^ 2 + c / q ^ 3 = 0 #
# "si prenem" q = sqrt (| b | / 3) ", el coeficient de z esdevé" #
# "3 o -3 i obtenim:" #
# "(aquí" q = 1.61589329 ")" #
# => z ^ 3 - 3 z + 1.87850338 = 0 #
# "Substituint" z = t + 1 / t ", produeix:" #
# => t ^ 3 + 1 / t ^ 3 + 1.87850338 = 0 #
# "Substituint" u = t ^ 3 ", produeix l’equació quadràtica:" #
# => u ^ 2 + 1.87850338 u + 1 = 0 #
# "Les arrels de l'equació quadràtica són complexes".
# "Això significa que tenim 3 arrels reals a la nostra equació cúbica".
# "Una arrel d'aquesta equació quadràtica és" #
# u = -0.93925169 + 0.34322917 i #
# "Substitució de les variables, rendiment:" #
#t = root3 (u) = 1,0 * (cos (-0,93041329) + i sin (-0,93041329)) #
# = 0.59750263 - 0.80186695 i. #
# => z = 1.19500526 + i 0,0.
# => y = 1.93100097 + i 0,0.
# => x = 1.26433430 #
# "Les altres arrels es poden trobar dividint i resolent" # "equació quadràtica restant." #
# "Les altres arrels són reals: -3.87643981 i 0.61210551." #
Resposta:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 = 2 (x-x_0) (x-x_1) (x-x_2) #
on:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
Explicació:
Donat:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Tingueu en compte que això es factoritza molt més fàcilment si hi ha un error tipogràfic a la pregunta.
Per exemple:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2 colors (vermell) (12) x + 6 = 2 (x-1) (x ^ 2 + 3x-6) = …
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + color (vermell) (7) = (x-1) (2x ^ 2 + 6x-7) = …
Si el cúbic és correcte en la forma donada, podem trobar els seus zeros i factors com segueix:
#f (x) = 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Transformació de Tschirnhaus
Perquè la tasca de resoldre el cúbic sigui més senzilla, fem el cúbic més senzill utilitzant una substitució lineal coneguda com a transformació de Tschirnhaus.
# 0 = 108f (x) = 216x ^ 3 + 432x ^ 2-1404x + 648 #
# = (6x + 4) ^ 3-282 (6x + 4) + 1712 #
# = t ^ 3-282t + 1712 #
on # t = (6x + 4) #
Substitució trigonomètrica
Des de #f (x) # té #3# Els zeros reals, el mètode de Cardano i els similars resultaran en expressions que impliquin arrels de cubs irreductibles de números complexos. La meva preferència en aquestes circumstàncies és utilitzar una substitució trigonomètrica.
Posar:
#t = k cos theta #
on #k = sqrt (4/3 * 282) = 2sqrt (94) #
Llavors:
# 0 = t ^ 3-282t + 1712 #
#color (blanc) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 282k cos theta + 1712 #
#color (blanc) (0) = 94k (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) + 1712 #
#color (blanc) (0) = 94k cos 3 theta + 1712 #
Tan:
#cos 3 theta = -1712 / (94 k) = -1712 / (188 sqrt (94)) = - (1712sqrt (94)) / (188 * 94) = -214/2209 sqrt (94) #
Tan:
# 3 theta = + -cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + 2 npi
Tan:
#theta = + - 1 / 3cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3 #
Tan:
#cos theta = cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) #
Que dóna #3# diferents zeros del cúbic in # t #:
#t_n = k cos theta = 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) "" # per #n = 0, 1, 2 #
Llavors:
#x = 1/6 (t-4) #
Així que els tres zeros del cúbic donat són:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
amb valors aproximats:
# x_0 ~~ 1.2643 #
# x_1 ~~ -3.8764 #
# x_2 ~~ 0.61211 #
