Quan utilitzeu la fórmula d’Heron per trobar àrea?

Podeu utilitzar-lo sempre que conegueu les longituds dels tres costats d’un triangle.

Espero que això sigui útil.

Resposta:

La fórmula de Heron és gairebé sempre una fórmula equivocada; proveu el teorema d'Arquímedes per a un triangle amb àrea # A # i els costats # a, b, c #:

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2

#quad = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

#quad = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# quad = 16s (s-a) (s-b) (s-c) # on # s = 1/2 (a + b + c) #

Aquest últim és una garza velada.

Explicació:

Heroi d'Alexandria va escriure al segle I dC. Per què seguim torturant els estudiants amb el seu resultat quan hi ha molts equivalents moderns molt millors que no tinc ni idea.

La fórmula de Heron per a la zona # A # d'un triangle amb costats # a, b, c # és

# A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # on # s = 1/2 (a + b + c) # és el semiperímetre.

Sens dubte, aquesta fórmula és increïble. Però és incòmode utilitzar a causa de la fracció i, si partim de les coordenades, les quatre arrels quadrades.

Fem només les matemàtiques. Es quadrats i eliminem # s # que serveix principalment per amagar un #16# i una factorització important. Potser voldreu provar-ho primer.

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (a + b + c) -a) (1/2 (a + b + c) -b) (1/2 (a +) b + c) -c) #

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (-a + b + c)) (1/2 (a-b + c)) (1/2 (a + bc)) #

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Això ja és molt millor que la forma d’Haron. Guardem la fracció fins al final i no ens preguntem més sobre el significat del semiperímetre.

El cas degenerat està explicant. Quan un d'aquests factors amb un signe menys és zero, és a dir, quan dos costats s'acumulen exactament a l'altre costat. Aquestes són les distàncies entre tres punts de la columna, el triangle degenerat i obtenim una àrea zero. Té sentit.

El # a + b + c # el factor és interessant. El que ens diu és que aquesta fórmula encara funciona si fem servir desplaçaments, longituds signades, en lloc de totes positives.

La fórmula encara és incòmoda per utilitzar coordenades donades. Anem a multiplicar-lo; potser voldreu provar-ho vostè mateix;

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# = (-a ^ 2-ab-ac + ab + b ^ 2 + bc + ac + bc + c ^ 2) (a ^ 2-ab + ac + ab-b ^ 2 + bc -ac + bc-c ^ 2) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Aquesta forma només depèn dels quadrats de les longituds. És clarament completament simètric. Podem anar més enllà d’Haron i dir-nos si el longitud quadrada són racionals, així com l’àrea quadrada.

Però podem fer-ho millor si ho notem

# (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) +2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Restant,

# 16A ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Aquesta és la forma més bonica.

Hi ha un aspecte asimètric que sol ser el més útil. Observem

# (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) -2 (-a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Afegint això a

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2

Aquesta és la forma més útil. Hi ha realment tres maneres d’escriure-la, canviant els costats.

Col·lectivament, s’anomenen Teorema d’Arquímedes, de la Trigonometria Racional de NJ Wildberger.

Quan es donen coordenades 2D, sovint la fórmula Shoelace és el camí més ràpid cap a la zona, però ho faré per a altres publicacions.