Quina és la millor manera de trobar sqrt (13) sense utilitzar una calculadora?

Resposta:

Suggeriria el mètode de Newton, encara que no estic disposat a afirmar que és més fàcil que endevinar i comprovar, i després ajusteu la suposició.

Explicació:

El mètode de Newton és un mètode iteratiu d'aproximació. (Funciona a causa del càlcul, però aquesta pregunta es publica a Àlgebra, així que deixem-ho sol.)

Feu una primera aproximació. En el teu exemple, diguem # x_1 = 3 #

La següent aproximació és: # x_2 = 1/2 (13 / x_1 + x_1) #

És a dir, dividir #13# per l’aproximació actual i la mitjana que amb la vostra última aproximació.

Conèixer # x_n #, trobem #x_ (n + 1) # per:

#x_ (n + 1) = 1/2 (13 / x_n + x_n) #

Així que tenim: # x_1 = 3 #

Trobar # x_2 #:

#13/3 = 4.33#

La mitjana de la nostra aproximació actual, #3# i el quocient #4.33# és #3.67#

Tan # x_2 = 3,67 #

Trobar # x_3 #:

#13/3.67 = 3.54#

La mitjana de la nostra aproximació actual, #3.67# i el quocient #3.54# és #3.61#

Tan # x_3 = 3,61 #

Sí, abans feia càlculs tediosos.

Resposta:

Hi ha un mètode (potser poc conegut) per trobar l’arrel quadrada d’un nombre que he intentat demostrar a continuació.

Explicació:

Comenceu com si estiguéssiu configurant una divisió llarga (però noteu l’absència d’un divisor). El nombre es divideix en blocs de 2 dígits amb tants parells de zeros després del punt decimal a mesura que vulgueu escriure. El punt decimal s’ha d’escriure directament per sobre del punt decimal del nombre per al qual esteu intentant trobar l’arrel quadrada (sembla que he perdut la meva).

Decidiu el dígit més gran del qual el quadrat no sigui més gran que el primer parell de dígits amb el valor amb el qual esteu treballant i introduïu-los tal com s'indica a continuació

Multipliqueu el número per sobre de la línia pel nombre situat a l’esquerra de la línia vertical i resteu aquest producte del valor que hi ha sobre ell.

Copieu el següent parell de dígits a sota com a sufix de la resta anterior.

Doble el valor per sobre de la línia i permeteu un sufix de dígit (de manera que, en aquest cas, 3 es converteix en una cosa entre 60 i 69; encara no s'ha de determinar).

Determineu el dígit més gran que quan s’utilitza com a sufix de dígit a l’esquerra i que s’utilitza per multiplicar el valor resultant no és superior al valor de treball (en aquest cas no superior a 400).

Multiplicar, restar, reduir el parell de dígits següents.

Doble el valor de la part superior i escriviu amb espai per a un sufix de dígit a l'esquerra de l'àrea de treball.

Continua el procés tal com s'indica a continuació:

Si us plau; si algú pot proporcionar una explicació més senzilla de com treballar aquest procés, si us plau, feu-ho.

Resposta:

En lloc d’escriure un llarg comentari a Jim, heus aquí la resposta d’un "altre".

Trobar #sqrt (n) #, itereu les vostres aproximacions utilitzant:

#a_ (i + 1) = a_i + (n - a_i ^ 2) / (2a_i) #

Explicació:

Uso això normalment amb fraccions 'impropi' per obtenir una seqüència d'aproximacions, aturant-me quan crec que tinc suficients dígits significatius, i després divideixo els nombres enters resultants.

Alternativament, si només vull l’arrel quadrada a 4 dígits significatius, comencem per una aproximació raonable de 2 dígits i realitzo un o dos passos.

Intento memoritzar els quadrats de #2# números de dígits també. Així, en el cas de #13# He de recordar-ho #36^2 = 1296# està bastant a prop #1300#, tan #36# fa una bona aproximació a #sqrt (1300) #.

La següent aproximació seria #36 + 4/72 = 36 + 1/18 ~= 36.056#

Per tant #sqrt (13) ~ = 3.6056 #