Com puc resoldre aquesta equació diferencial?

Resposta:

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ i) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / i ^ y + 1 #

Explicació:

Això és un equació diferencial separable, que simplement vol dir que és possible agrupar-los # x # termes i # y # termes en costats oposats de l’equació. Així doncs, això és el que farem primer:

# (i ^ x) i dy / dx = e ^ (- y) + e ^ (- 2x) * e ^ (- y) #

# => (e ^ x) dy / dx = e ^ (- y) / i (1 + e ^ (- 2x)) #

# => e ^ x / (1 + i ^ (- 2x)) dy / dx = e ^ (- y) / i #

Ara, volem aconseguir-ho dy al costat de la y, i dx al costat de la x. Hem de fer una mica de tornar a organitzar:

# (1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x dx = i / e ^ (- y) dy #

Ara, integrem els dos costats:

#int ((1 + i ^ (- 2x)) / i ^ x) dx = int i / e ^ (- y) dy #

Fem cadascun dels integrants:

1. #int ((1 + i ^ (- 2x)) / i ^ x) dx #

En primer lloc, dividirem això en 2 integrals separades per la regla d’addició / resta:

# => int (1 / i ^ x) dx + int (e ^ (- 2x)) / e ^ xdx #

Aquestes semblen molestes. No obstant això, podem donar-los una mica de canvi d'imatge per fer-los semblar més simples (i molt més fàcils de resoldre):

# => int (e ^ (- x)) dx + int (e ^ (- 3x)) dx #

Ambdós són ara senzills # u #-integrals de substitució. Si heu definit #u = -x # i # -3x # respectivament, obtindreu la resposta com:

# => -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

1. #int i / e ^ (- y) dy #

#Si fem positiu l'exponent negatiu, obtenim:

#int (ye ^ y) dy #

Haurem d’utilitzar la integració per parts. La fórmula és:

#int (uv) dy = uv-int (v * du) #

Anem a configurar #u = i #, i #dv = e ^ y dy #. La raó és que volem un fàcil # du # per a aquesta integració final, i també perquè # e ^ y # és molt fàcil d’integrar.

Tan:

#u = i #

# => du = dy #

#dv = e ^ y dy #

#v = e ^ y #

Ara només hem de connectar i arrencar:

# => int (ye ^ y) dy = ye ^ y - int (e ^ y) dy #

# = ye ^ y - e ^ y #

Tornar a posar tot:

# ye ^ i - e ^ y = -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

Desfer-se dels exponents negatius:

# ye ^ i - e ^ y = -1 / i ^ (x) - 1 / (3e ^ (- 3x)) + C #

I aquesta és una resposta final bastant decent. Si volies resoldre'l # y #, podríeu i acabaríeu

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ i) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / i ^ y + 1 #

Tingueu en compte que no tenim una # + C # a la LHS d’aquesta equació. La raó d'això és que fins i tot si ho vam posar, en última instància, el restaríem de la RHS, i una constant arbitrària menys una constant arbitrària segueix sent (esperar-la) una constant arbitrària. Per tant, per a aquests problemes sempre que tingueu el vostre # + C # en qualsevol costat de l’equació, estaràs bé.

Espero que t'hagi ajudat:)