Què és el domini i el rang de y = 4 / (x ^ 2-1)?

Resposta:

Domini: # (- oo, -1) uu (-1, 1) uu (1, oo) #

Gamma: # (- oo, -4 uu (0, oo) #

Explicació:

Millor explicat a través del gràfic.

gràfic {4 / (x ^ 2-1) -5, 5, -10, 10}

Podem veure que per al domini, el gràfic comença a l'infinit negatiu. Llavors toca una asíntota vertical a x = -1.

Aquesta xerrada de matemàtiques fantàstica per al gràfic no es defineix a x = -1, perquè en aquest valor tenim #4/((-1)^2-1)# que és igual #4/(1-1)# o bé #4/0#.

Atès que no es pot dividir per zero, no es pot tenir un punt a x = -1, de manera que el mantenim fora del domini (recordem que el domini d'una funció és la col·lecció de tots els valors x que produeixen una valor y).

Llavors, entre -1 i 1, tot està bé, així que hem d'incloure-ho al domini.

Les coses comencen a ser funky a x = 1 de nou. Una vegada més, quan connecteu 1 per a x, el resultat és #4/0# per tant, hem d’excloure-ho del domini.

Per resumir-ho, el domini de la funció és de l'infinit negatiu a -1, després de -1 a 1, i després a l'infinit. La manera d’expressar mathy és això # (- oo, -1) uu (-1, 1) uu (1, oo) #.

El rang segueix la mateixa idea: és el conjunt de tots els valors y de la funció. Podem veure des del gràfic que de l'infinit negatiu a -4, tot està bé.

Llavors les coses comencen a anar cap al sud. En y = -4, x = 0; però llavors, si proveu y = -3, no obtindreu una x. Veure:

# -3 = 4 / (x ^ 2-1) #

# -3 (x ^ 2-1) = 4 #

# x ^ 2-1 = -4 / 3 #

# x ^ 2 = -4 / 3 + 1 = -1 / 3 #

#x = sqrt (-1/3) #

No existeix l’arrel quadrada d’un nombre negatiu. Això està dient que alguns números quadrats són iguals #-1/3#, cosa que és impossible perquè el quadrat d’un nombre sempre té un resultat positiu.

Això significa #y = "-" 3 # no està definida i, per tant, no forma part de la nostra gamma. El mateix passa amb tots els valors y entre 4 i 0.

A partir de 0, tot és bo fins a l'infinit. El nostre rang és llavors infinit negatiu a -4, llavors 0 a infinit; en termes matemàtics, # (- oo, -4 uu (0, oo) #.

En general, per trobar el domini i l’abast, heu de cercar llocs on les coses siguin sospitoses. Això normalment implica coses com la divisió per zero, tenint l’arrel quadrada d’un nombre negatiu, etc.

Sempre que trobeu un punt com aquest, traieu-lo del domini / rang i formeu la vostra notació d'interval.