Com solucioneu x + 2 = e ^ (x)?

Resposta:

Utilitzeu el mètode de Newton

#x = 1.146193 # i #x = -1.84141 #

Explicació:

No podeu resoldre l’equació mitjançant mètodes algebraics. Per a aquest tipus d’equacions, faig servir una tècnica d’anàlisi numèrica anomenada Newton's Method.

Heus aquí una referència al mètode de Newton

Deixar #f (x) = e ^ x - x - 2 = 0 #

#f '(x) = e ^ x - 1 #

Comenceu amb una conjectura # x_0 # i després feu el càlcul següent per apropar-vos a la solució:

#x_ (n + 1) = x_n - f (x_n) / (f '(x_n)) #

Es fa el càlcul, alimentant cada pas de tornada a l’equació, fins que el nombre que rebeu no canvia del número anterior.

Com que el mètode de Newton és computacionalment intensiu, faig servir un full de càlcul Excel.

Obriu un full de càlcul d'Excel

A la cel·la A1 introduïu la vostra conjectura # x_0 #. He introduït 1 a la cel·la A1.

A la cel·la A2 introduïu l’expressió següent:

= A1 - (EXP (A1) - A1 - 2) / (EXP (A1) - 1)

Copieu el contingut de la cel·la A2 al porta-retalls i enganxeu-lo a la cel·la A3 a A10.

Veuràs que el número convergeix ràpidament #x = 1.146193 #

Edició: Després de llegir un comentari molt agradable de Shell. He decidit trobar la segona arrel canviant el valor de la cel·la A1 de 1 a -1. El full de càlcul convergeix ràpidament en el valor #x = -1.84141 #

Resposta:

Aquesta pregunta no es pot resoldre algebraicament. La representació gràfica # x = -1.841 # i # x = 1.146 #.

Explicació:

El costat esquerre de l’equació # x + 2 # és algebraic.

El costat dret de l’equació # e ^ x # és transcendental (no es pot expressar com a polinomi, p.ex. exponencials, registres, funcions trig).

Aquesta equació no es pot resoldre algebraicament, sinó que es pot resoldre gràficament.

Per resoldre, traceu ambdós #color (vermell) (y = x + 2) # i #color (blau) (y = i ^ x) # en una utilitat gràfica o en una calculadora gràfica. Les solucions són les # x # coordenades de les interseccions.