Com s'utilitza la primera prova derivada per determinar l'extrem local y = sin x cos x?

Resposta:

L’extrema per a # y = sin (x) cos (x) # són

# x = pi / 4 + npi / 2 #

amb # n # un enter enter

Explicació:

Sigui #f (x) # la funció que representa la variació de # y # amb repsect to # x #.

Sigui #f '(x) # la derivada de #f (x) #.

#f '(a) # és el pendent del #f (x) # corba al # x = un # punt.

Quan el pendent és positiu, la corba augmenta.

Quan la pendent és negativa, la corba disminueix.

Quan la pendent és nul·la, la corba es manté al mateix valor.

Quan la corba arriba a un extrem, deixarà d’augmentar / disminuir i començarà a disminuir / augmentar. En altres paraules, el pendent passarà del positiu al negatiu -o negatiu al positiu- passant pel valor zero.

Per tant, si busqueu l'extrema d'una funció, hauríeu de buscar els valors nuls de la seva derivada.

N.B. Hi ha una situació quan la derivada és nul·la, però la corba no arriba a un extrem: s’anomena punt d’inflexió. la corba es detindrà momentàniament augmentant / disminuint i després reprendrà el seu augment / disminució. Així, també hauríeu de comprovar si el signe de la inclinació canvia al voltant del seu valor nul.

Exemple: #f (x) = sin (x) cos (x) = y #

#f '(x) = (dsin (x)) / dxcdotcos (x) + sin (x) cdot (dcos (x)) / dx #

# = cos (x) cdotcos (x) + sin (x) cdot (-sin (x)) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) #

Ara que tenim la fórmula per #f '(x) #, buscarem els seus valors nuls:

#f '(x) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = 0 rarr cos ^ 2 (x) = sin ^ 2 (x) #

Les solucions són # pi / 4 + npi / 2 # amb # n # un enter enter.

Resposta:

Fins i tot si tenim previst utilitzar la primera prova derivada, val la pena observar-ho #y = 1/2 sin (2x) #.

Explicació:

Després d’aquesta observació, realment no necessitem càlcul per trobar l’extrema.

Podem confiar en el nostre coneixement de la trigonometria i dels gràfics de les funcions sinusoïdals

El valor màxim (de 1/2) es produirà quan # 2x = pi / 2 + 2pik # o quan #x = pi / 4 + pik # per # k # un nombre enter.

El mínim es produeix a #x = 3pi / 4 + pik # per # k # un nombre enter.

Podem utilitzar la derivada, però en realitat no la necessitem.

Ús de la derivada

Havent estat reescrit # y #, podem veure ràpidament això #y '= cos (2x) #

Així doncs, els números crítics de # y # són # 2x = pi / 2 + 2pik # i # 2x = (3pi) / 2 + 2pik #, (quan el cosinus és #0#) o

# x = pi / 4 + pik # i # x = (3pi) / 4 + pik #

Comprovació del signe de #y '= cos (2x) #, trobarem els valors màxims al primer conjunt de números crítics i els valors mínims al segon.