Quina és l’equació de la línia tangent de f (x) = (x-3) / (x-4) ^ 2 a x = 5?

L’equació de la línia tangent és de la forma:

# y = color (taronja) (a) x + color (violeta) (b) #

on # a # és el pendent d’aquesta recta.

Per trobar el pendent d’aquesta línia tangent a #f (x) # al punt # x = 5 # hem de diferenciar #f (x) #

#f (x) # és una funció quocient de la forma # (u (x)) / (v (x)) #

on #u (x) = x-3 # i #v (x) = (x-4) ^ 2 #

#color (blau) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#u '(x) = x'-3' #

#color (vermell) (u '(x) = 1) #

#v (x) # és una funció composta, de manera que hem d’aplicar la regla de la cadena

deixar #g (x) = x ^ 2 # i #h (x) = x-4 #

#v (x) = g (h (x)) #

#color (vermell) (v '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#g '(x) = 2x # llavors

#g '(h (x)) = 2 (h (x)) = 2 (x-4) #

#h '(x) = 1

#color (vermell) (v '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#color (vermell) (v '(x) = 2 (x-4) #

#color (blau) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#f '(x) = (1 * (x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / ((x-4) ^ 2) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) ((x-4) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2 (x-3))) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2x + 6)) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (- x + 2)) / (x-4) ^ 4 #

simplificant el factor comú # x-4 # entre numerador i denominador

#color (blau) (f '(x) = (- x + 2) / (x-4) ^ 3)

Com que la línia tangent passa pel punt # x = 5 # per tant, podem trobar el valor de la inclinació # a # substituint # x = 5 # in # f '(x) #

#color (taronja) (a = f '(5)) #

#a = (- 5 + 2) / (5-4) ^ 3 #

# a = -3 / 1 ^ 3 #

#color (taronja) (a = -3) #

Tenint en compte l’abscissa del punt de tangència #color (marró) (x = 5) # permet

deixem de trobar la seva ordenada # y = f (5) #

#color (marró) (y = f (5)) = (5-3) / (5-4) ^ 4 #

# y = 2/1 #

#color (marró) (y = 2)

Tenir les coordenades del punt de tangència #color (marró) ((5; 2)) # i el pendent #color (taronja) (a = -3) # pots trobar #color (violeta) (b) #

permet substituir tots els valors coneguts de l’equació de la línia tangent per trobar valor #color (violeta) (b) #

#color (marró) (y) = color (taronja) (a) color (marró) (x) + color (violeta) (b) #

# 2 = -3 (5) + color (violeta) (b) #

# 2 = -15 + color (violeta (b) #

# 17 = color (violeta) (b) #

per tant, l’equació de la línia tangent al punt #color (marró) ((5; 2)) # és:

# y = -3x + 17 #