Què és Infinity? + Exemple

Resposta:

No es pot respondre sense context. Aquests són alguns dels usos en matemàtiques.

Explicació:

Un conjunt té una cardinalitat infinita si es pot mapar de manera individualitzada a un subconjunt propi de si mateix. Aquest no és l’ús de l’infinit en el càlcul.

En Càlcul, fem servir "infinit" de tres maneres.

Notació d'interval:

Els símbols # oo # (respectivament # -o #) s’utilitzen per indicar que un interval no té un punt final (dret esquerre).

L’interval # (2, oo) # és el mateix que el conjunt # x #

Límits infinits

Si no existeix un límit, perquè # x # enfocaments # a #, els valors de #f (x) # augmentar sense lligat, llavors escrivim #lim_ (xrarra) f (x) = oo #

Tingueu en compte que: la frase "sense vincle" és significativa. Els nubers:

#1/2, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32, 63/64… # estan creixent, però limitades per sobre. (Mai no arriben ni passen #1#.)

Límits a l'Infinit

La frase "el límit a l'infinit" s'utilitza per indicar que hem preguntat què passa #f (x) # com # x # augmenta sense lligat.

Els exemples inclouen

El límit com # x # augmenta sense lligat de # x ^ 2 # no existeix perquè, com # x # augmenta sense lligat, # x ^ 2 # també augmenta sense lligat.

Això està escrit #lim_ (xrarr00) x ^ 2 = oo # i el llegim sovint

"El límit com a # x # va a l'infinit, de # x ^ 2 # és infinit"

El límit #lim_ (xrarroo) 1 / x = 0 # indica que, com # x # augmenta sense lligat, # 1 / x # enfocaments #0#.

Resposta:

Depèn del context …

Explicació:

#bb + - # Infinit i límits

Penseu en el conjunt de números reals # RR #, sovint representada com una línia amb números negatius a l’esquerra i números positius a la dreta. Podem afegir dos punts anomenats # + oo # i # -o # que no funcionen com a números, però tenen la propietat següent:

#AA x a RR, -oo <x <+ oo #

Llavors podem escriure #lim_ (x -> + oo) # significar el límit com # x # cada vegada és més positiu sense límit superior i #lim_ (x -> - oo) # significar el límit com # x # cada vegada és més negatiu sense límit inferior.

També podem escriure expressions com:

#lim_ (x-> 0+) 1 / x = + oo #

#lim_ (x-> 0-) 1 / x = -o #

… és a dir, el valor de # 1 / x # augmenta o disminueix sense lligar com # x # enfocaments #0# de la "dreta" o "esquerra".

Així, en aquests contextos # + - oo # són realment abreujats per expressar condicions o resultats de processos limitants.

Infinit com a finalització de # RR # o bé # CC #

La línia projectiva # RR_oo # i l'esfera de Riemann # CC_oo # es formen afegint un únic punt anomenat # oo # a # RR # o bé # CC # - el "punt a l'infinit".

A continuació, podem ampliar la definició de funcions com #f (z) = (az + b) / (cz + d) # ser continu i ben definit en tot # RR_oo # o bé # CC_oo #. Aquestes transformacions de Möbius funcionen especialment bé # C_oo #, on mapen cercles a cercles.

Infinit en teoria de conjunts

La mida (cardinal) del conjunt dels enters és infinita, coneguda com infinit comptable. Georg Cantor va trobar que el nombre de nombres reals és estrictament més gran que aquest infinit comptable. En teoria de conjunts hi ha tota una infinitat d'infinits de mides creixents.

Infinitat com a nombre

Podem tractar realment els infinits com a nombres? Sí, però les coses no funcionen com sempre. Per exemple, podríem dir feliçment # 1 / oo = 0 # i # 1/0 = oo #, però, quin és el valor de # 0 * oo?

Hi ha sistemes numèrics que inclouen infinits i infinitesimales (números infinitament petits). Aquests proporcionen una imatge intuïtiva dels resultats dels processos límit, com la diferenciació, i es poden tractar amb rigor, però hi ha moltes trampes per evitar.