Sigui V = R³ i W = {(x, y, z) x + y + z = 0} com un subespai de V. Quins dels següents parells de vectors són al mateix coset de W en V? (i) (1,3,2) i (2,2,2). (ii) (1,1,1) i (3,3,3).

Resposta:

# #

mbox {i)} (1,3,2) mbox {i} (2,2,2): #

#quadquadquadquad mbox {pertanyen al mateix coset de} W. #

mbox {ii)} (1,1,1) mbox {i} (3,3,3): #

#quadquadquad quad mbox {no pertanyen al mateix coset de} W. #

Explicació:

# #

# mbox {1) Tingueu en compte que, pel donat a} W, mbox {podem descriure} mbox {els elements de} W mbox {com aquells vectors de} V mbox {on la mbox {suma de les coordenades és}} 0. #

# #

mbox {2) Ara recordeu que:} #

# mbox {dos vectors pertanyen al mateix coset de qualsevol subespai}

qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qadquad

#quad mbox {la seva diferència pertany al subespai mateix}. #

# #

# mbox {3) Per tant, per determinar la pertinença al mateix coset de} W, mbox {és necessari i suficient per determinar si el mbox {diferència d'aquests vectors pertany a} W: #

#quad vec {v_1}, vec {v_2} en mbox {mateix coset de} W quad quadrada if v quad} v_1} - {v_2}. #

# #

# mbox {Per tant, per la descripció de} W mbox {a (1) anterior, tenim:}

# vec {v_1}, vec {v_2} en mbox {mateix coset de} W quad quadrada if quad mbox {la suma de les coordenades de} (v_1} - {v_2}) = 0. #

# #

mbox {Es tracta d’aquest simple càlcul.} #

# #

# 4) mbox {Procedint amb els dos parells de vectors donats, i} mbox {realitzant aquest càlcul en cada parella, trobem: #

cv mbox {i)} (1,3,2) - (2,2,2) = (-1,1,0), mbox {i per tant} #

#quadquad mbox {la suma de les coordenades de} quad (-1,1,0) = 0.

# mbox {Per tant:} qquad qquad quad (1,3,2) mbox {i} (2,2,2) #

#quadquadquadquadquadquad mbox {pertanyen al mateix coset de} W. #

# #

cv mbox {ii)} (1,1,1) - (3,3,3) = (2,2,2), mbox {and so} #

#quad qquad mbox {la suma de les coordenades de} quad (2,2,2) = 6 n 0.

# mbox {Per tant:} qquad qquad quad (1,1,1) mbox {i} (3,3,3) #

# quad quad quadrats mbox {no pertanyen al mateix coset de} W. #