Què és un espai de Hilbert? + Exemple

Què és un espai de Hilbert? + Exemple
Anonim

L’espai de Hilbert és un conjunt d’elements amb certes propietats, a saber:

és un espai vectorial (per tant, hi ha operacions sobre els seus elements típics dels vectors, com la multiplicació per un nombre real i l'addició que satisfà les lleis commutatives i associatives);

hi ha un producte escalar (de vegades anomenat interior o punt) entre dos elements que resulten en un nombre real.

Per exemple, el nostre espai euclidià tridimensional és un exemple d’un espai de Hilbert amb un producte escalar de # x = (x_1, x_2, x_3) # i # y = (y_1, y_2, y_3) # igual a # (x, y) = x_1 * y_1 + x_2 * y_2 + x_3 * y_3 #.

Un exemple més interessant és un espai de totes les funcions contínues en un segment # a, b # amb un producte escalar definit com

# (f, g) = int_a ^ b f (x) * g (x) dx #

En física quàntica, l'espai de Hilbert té un paper molt important com a funció que descriu l'estat d'un sistema # Psi # és un element d’un espai de Hilbert.

Puc recomanar

http://www.phy.ohiou.edu/~elster/lectures/qm1_1p2.pdf

com a introducció a l’ús de l’espai de Hilbert en la física quàntica.