Un enter positiu és 3 menys que el doble que un altre. La suma dels seus quadrats és 117. Quins són els enters?

Resposta:

#9# i #6#

Explicació:

Els quadrats dels primers enters positius són:

#1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100#

Els dos únics amb suma #117# són #36# i #81#.

S’adapten a les condicions des de:

#color (blau) (6) * 2-3 = color (blau) (9) #

i:

#color (blau) (6) ^ 2 + color (blau) (9) ^ 2 = 36 + 81 = 117 #

Així, doncs, els dos enters #9# i #6#

Com podríem haver-los trobat més formalment?

Suposem que els enters són # m i # n #, amb:

#m = 2n-3 #

Llavors:

# 117 = m ^ 2 + n ^ 2 = (2n-3) ^ 2 + n ^ 2 = 4n ^ 2-12n + 9 + n ^ 2 = 5n ^ 2-12n + 9 #

Tan:

# 0 = 5 (5n ^ 2-12n-108) #

#color (blanc) (0) = 25n ^ 2-60n-540 #

#color (blanc) (0) = (5n) ^ 2-2 (5n) (6) + 6 ^ 2-576 #

#color (blanc) (0) = (5n-6) ^ 2-24 ^ 2

#color (blanc) (0) = ((5n-6) -24) ((5n-6) +24) #

#color (blanc) (0) = (5n-30) (5n + 18) #

#color (blanc) (0) = 5 (n-6) (5n + 18) #

Per tant:

#n = 6 "" # o bé # "" n = -18 / 5 #

Només ens interessa solucions enteres positives, de manera que:

#n = 6 #

Llavors:

#m = 2n-3 = 2 (color (blau) (6)) - 3 = 9 #