Com es pot trobar la fórmula de MacLaurin per a f (x) = sinhx i utilitzar-la per aproximar f (1/2) dins de 0,01?

Resposta:

#sinh (1/2) ~~ 0,52 #

Explicació:

Sabem la definició de #sinh (x) #:

#sinh (x) = (e ^ x-e ^ -x) / 2 #

Ja sabem per a la sèrie Maclaurin # e ^ x #, el podem utilitzar per construir un per a #sinh (x) #.

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) … #

Podem trobar la sèrie per a # e ^ -x # substituint # x # amb # -x #:

# e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n!) x ^ n = 1 -x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) … #

Podem restar aquests dos uns dels altres per trobar el numerador de la # sinh # definició:

#color (blanc) (- e ^ -x.) e ^ x = color (blanc) (….) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) + x ^ 4 / (4!) + X ^ 5 / (5!) … #

#color (blanc) (e ^ x) -e ^ -x = -1 + xx ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) - x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

# e ^ xe ^ -x = color (blanc) (lllllllll) 2xcolor (blanc) (lllllllll) + (2x ^ 3) / (3!) color (blanc) (lllllll) + (2x ^ 5) / (5!) … #

Podem veure que es cancel·len tots els termes de parella i tots els termes imparells. Podem representar aquest patró de la manera següent:

# e ^ x-e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo 2 / ((2n + 1)!) x ^ (2n + 1) #

Per completar el document #sinh (x) # sèrie, només hem de dividir això #2#:

# (e ^ x-i ^ -x) / 2 = sinh (x) = sum_ (n = 0) ^ oo cancel2 / (cancel2 (2n + 1)!) x ^ (2n + 1) = #

# = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = x + x ^ 3 / (3!) + x ^ 5 / (5!) … #

Ara volem calcular #f (1/2) # amb una precisió d'almenys #0.01#. Coneixem aquesta forma general de l’error de Lagrange lligat a un nº de polinomi de Taylor sobre # x = c #:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (X-c) ^ (n + 1) | # on # M # és un límit superior de la desena derivada de l’interval de # c # a # x #.

En el nostre cas, l’expansió és una sèrie de Maclaurin # c = 0 # i # x = 1/2 #:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) | #

Els derivats d’ordre superior #sinh (x) # o bé ho serà #sinh (x) # o bé #cosh (x) #. Si considerem les definicions per a ells, ho veiem #cosh (x) # sempre serà més gran que #sinh (x) #, així que hauríem de treballar amb el # M #-amb destinació a #cosh (x) #

La funció de cosinus hiperbòlic sempre augmenta, de manera que el valor més gran de l’interval serà #1 / 2#:

#sinh (1/2) = (e ^ (1/2) + i ^ (- 1/2)) / 2 = (sqrte + 1 / sqrte) / 2 = sqrte / 2 + 1 / (2sqrte) = M #

Ara ho connectem al error de Lagrange:

# | R_n (x) | <= (sqrte / 2 + 1 / (2sqrte)) / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) #

Volem # | R_n (x) | # ser menor que #0.01#, així que provem alguns # n # valors fins que arribem a aquest punt (la quantitat menor de termes al polinomi, millor). Ho trobem # n = 3 # és el primer valor que ens donarà un vincle d’error menor que #0.01#, per tant, hem d’utilitzar un polinomi de tercer grau.

#sinh (1/2) ~~ sum_ (n = 0) ^ 3 (1/2) ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = 336169/645120 ~~ 0,52 #