U_1, u_2, u_3, ... estan en progressió geomètrica (GP). La relació comuna dels termes de la sèrie és K.Ara determinem la suma de la sèrie u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) en forma de K i u_1?

Resposta:

#sum_ (k = 1) ^ n o_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #

Explicació:

Es pot escriure el terme general d'una progressió geomètrica:

#a_k = a r ^ (k-1) #

on # a # és el terme inicial i # r # la relació comuna.

La suma a # n # els termes són donats per la fórmula:

#s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#color (blanc) () #

Amb la informació donada a la pregunta, la fórmula general de #UK# es pot escriure:

#u_k = u_1 K ^ (k-1) #

Tingues en compte que:

#u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

Tan:

#sum_ (k = 1) ^ n o_k u_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

#color (blanc) (sum_ (k = 1) ^ n o_k u_ (k + 1)) = sum_ (k = 1) ^ n (u_1 ^ 2 K) * (K ^ 2) ^ (k-1) #

#color (blanc) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = sum_ (k = 1) ^ n a r ^ (k-1) "" # # on # a = u_1 ^ 2K # i #r = K ^ 2 #

#color (blanc) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#color (blanc) (sum_ (k = 1) ^ n o_k u_ (k + 1)) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #