Demostrar que el camí traçat pel punt d’intersecció de tres plans tangents perpendiculars mutus a l’eix el·lipsoide ^ 2 + per ^ 2 + cz ^ 2 = 1 és una esfera amb el mateix centre que l’el·lipsoide.

Resposta:

Mirar abaix.

Explicació:

Trucades # E-> f (x, y, z) = ax ^ 2 + per ^ 2 + cz ^ 2-1 = 0 #

Si #p_i = (x_i, y_i, z_i) a E # llavors

# ax_ix + by_iy + cz_iz = 1 # és un pla tangent a # E # perquè té un punt comú i #vec n_i = (ax_i, by_i, cz_i) # és normal a # E #

Deixar # Pi-> alpha x + beta y + gamma z = delta # ser un pla general tangent a # E # llavors

# {(x_i = alfa / (un delta)), (y_i = beta / (bdelta)), (z_i = gamma / (c delta)):}

però

# ax_i ^ 2 + by_i ^ 2 + cz_i ^ 2 = 1 tan

# alpha ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + gamma ^ 2 / c = delta ^ 2 # i l’equació del pla de tangent genèrica és

#alpha x + beta y + gamma z = pmsqrt (alfa ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + gamma ^ 2 / c) #

Ara es donen tres plànols ortogonals

# Pi_i-> alpha_i x + beta_i y + gamma_i z = delta_i #

i trucant #vec v_i = (alpha_i, beta_i, gamma_i) # i fer

#V = ((vec v_1), (vec v_2), (vec v_3)) # podem triar

# V cdot V ^ T = I_3 #

i com a conseqüència

# V ^ Tcdot V = I_3 #

llavors també ho tenim

# {(sum_i alpha_i ^ 2 = 1), (sum_i beta_i ^ 2 = 1), (sum_i gamma_i ^ 2 = 1), (sum_i alpha_i beta_i = 0), (sum_i alpha_i gamma_i = 0), (sum_i beta_i gamma_i = 0):} #

Ara afegeix #sum_i (alpha_i x + beta_iy + gamma_iz) ^ 2 # tenim

# x ^ 2sum_i alpha_i ^ 2 + i ^ 2sum_i beta_i ^ 2 + z ^ 2sum_i gamma_i ^ 2 + 2 (xy suma (alpha_i beta_i) + xzsum (alpha_i gamma_i) + suma (beta_i gamma_i)) = sum_i delta_i ^ 2 #

i finalment

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = sum_i delta_i ^ 2 #

però #sum_i delta_i ^ 2 = sum_ialpha_i ^ 2 / a + sum_ibeta_i ^ 2 / b + sum_igamma_i ^ 2 / c = 1 / a + 1 / b + 1 / c #

tan

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 / a + 1 / b + 1 / c #

que és el camí traçat pel punt d'intersecció de tres plans tangents perpendiculars mutus a l'el·lipsoide.

S'adjunta una trama per a l'el·lipsoide

# x ^ 2 + 2y ^ 2 + 3z ^ 2 = 1 #