Com s'utilitza la regla de la cadena per diferenciar y = (x ^ 3 + 4) ^ 5 / (3x ^ 4-2)?

Resposta:

#color (blau) (y '= ((x ^ 3 + 4) ^ 4 (33x ^ 6-48x ^ 3-30x ^ 2)) / (3x ^ 4-2) ^ 2) #

Explicació:

# y # és un quocient en forma de #color (blau) (y = (u (x)) / (v (x))

La diferència del quocient és la següent:

#color (blau) (y '= ((u (x))' v (x) - (v (x)) 'u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

Trobem # (u (x)) '# i # (v (x)) '#

#color (verd) ((u (x)) '=?)

#u (x) # és un compost de dues funcions #f (x) # i #g (x) # on:

#f (x) = x ^ 5 # i #g (x) = x ^ 3 + 4 #

Hem d’utilitzar la regla de la cadena per trobar-la #color (verd) ((u (x)) ') # #

#u (x) = f (g (x)) # llavors

#color (verd) ((u (x)) '= f' (g (x)) * g '(x)) #

#f '(x) = 5x ^ 4 # llavors

#f '(g (x)) = 5 (g (x)) ^ 4 #

#color (verd) (f '(g (x)) = 5 (x ^ 3 + 4) ^ 4) #

#color (verd) ((g (x)) '= 3x ^ 2) #

Tan,# (u (x)) '= 5 (x ^ 3 + 4) ^ 4 * 3x ^ 2 #

#color (verd) ((u (x)) '= 15x ^ 2 (x ^ 3 + 4) ^ 4) #

#color (vermell) ((v (x)) '=?)

#v (x) = 3x ^ 4-2 #

#color (vermell) ((v (x)) '= 12x ^ 3) #

Ara, substituïm #color (verd) ((u (x)) '# i #color (vermell) ((v (x)) '# in #color (blau) i '# #

#color (blau) (y '= ((u (x))' v (x) - (v (x)) 'u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#y '= (color (verd) (15x ^ 2 (x ^ 3 + 4) ^ 4) * (3x ^ 4-2) -color (vermell) (12x ^ 3) (x ^ 3 + 4) ^ 5) / (3x ^ 4-2) ^ 2 #

#y '= ((x ^ 3 + 4) ^ 4 15x ^ 2 (3x ^ 4-2) -12x ^ 3 (x ^ 3 + 4)) / (3x ^ 4-2) ^ 2 #

#y '= ((x ^ 3 + 4) ^ 4 45x ^ 6-30x ^ 2-12x ^ 6-48x ^ 3) / (3x ^ 4-2) ^ 2 #

#y '= ((x ^ 3 + 4) ^ 4 (45x ^ 6-12x ^ 6-48x ^ 3-30x ^ 2)) / (3x ^ 4-2) ^ 2 #

Per tant, #color (blau) (y '= ((x ^ 3 + 4) ^ 4 (33x ^ 6-48x ^ 3-30x ^ 2)) / (3x ^ 4-2) ^ 2) #