Quina és l’opció correcta de la pregunta donada? ps - Tinc 98 com a resposta, però no és correcte (? idk potser la resposta donada a la part posterior és incorrecta, o també podeu veure i tornar a comprovar la meva solució, he adjuntat la solució a sota de la pregunta)

Resposta:

#98# és la resposta correcta.

Explicació:

Donat:

# 4x ^ 3-7x ^ 2 + 1 = 0 #

Divisió per #4# trobem:

# x ^ 3-7 / 4x ^ 2 + 0x + 1/4 #

# = (x-alfa) (x-beta) (x-gamma) #

# = x ^ 3- (alfa + beta + gamma) x ^ 2 + (alphabeta + betagamma + gammaalfa) x-alphabetagamma #

Tan:

# {(alpha + beta + gamma = 7/4), (alphabeta + betagamma + gammaalfa = 0), (alphabetagamma = -1/4):}

Tan:

#49/16 = (7/4)^2-2(0)#

#color (blanc) (49/16) = (alpha + beta + gamma) ^ 2-2 (alphabeta + betagamma + gammaalpha) #

#color (blanc) (49/16) = alpha ^ 2 + beta ^ 2 + gamma ^ 2 #

i:

#7/8 = 0 - 2(-1/4)(7/4)#

#color (blanc) (7/8) = (alphabeta + betagamma + gammaalpha) ^ 2-2alphabetagamma (alfa + beta + gamma) #

#color (blanc) (7/8) = alpha ^ 2beta ^ 2 + beta ^ 2gamma ^ 2 + gamma ^ 2alpha ^ 2

Tan:

#49/128 = (7/8)^2-2(-1/4)^2(49/16)#

#color (blanc) (49/128) = (alpha ^ 2beta ^ 2 + beta ^ 2gamma ^ 2 + gamma ^ 2alfa ^ 2) ^ 2-2 (alphabetagamma) ^ 2 (alpha ^ 2 + beta ^ 2 + gamma ^ 2) #

#color (blanc) (49/128) = alpha ^ 4beta ^ 4 + beta ^ 4gamma ^ 4 + gamma ^ 4alpha ^ 4

Tan:

#alpha ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4) = (alpha ^ 4b ^ 4 + beta ^ 4gamma ^ 4 + gamma ^ 4alpha ^ 4) / (alphabetagamma) ^ 4 #

#color (blanc) (alfa ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4)) = (49/128) / (- 1/4) ^ 4 #

#color (blanc) (alfa ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4)) = (49/128) / (1/256) #

#color (blanc) (alfa ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4)) = 98 #

Resposta:

#98#

Explicació:

Alternativament, com a comprovació addicional, tingueu en compte que les arrels de:

# 4x ^ 3-7x ^ 2 + 1 = 0 #

són les inversions de les arrels de:

# x ^ 3-7x + 4 = 0 #

Així ho podem trobar # alpha ^ 4 + beta ^ 4 + gamma ^ 4 # per a les arrels d’aquest cúbic per calcular #alpha ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4) # per a les arrels del cubic original.

Donat:

# x ^ 3 + 0x ^ 2-7x + 4 #

# = (x-alfa) (x-beta) (x-gamma) #

# = x ^ 3- (alfa + beta + gamma) x ^ 2 + (alphabeta + betagamma + gammaalfa) x-alphabetagamma #

Trobem:

# {(alpha + beta + gamma = 0), (alphabeta + betagamma + gammaalfa = -7), (alphabetagamma = 4):}

Tan:

# alpha ^ 2 + beta ^ 2 + gamma ^ 2 #

# = (alfa + beta + gamma) ^ 2-2 (alphabeta + betagamma + gammaalfa) = 0-2 (-7) = 14 #

# alpha ^ 2beta ^ 2 + beta ^ 2gamma ^ 2 + gamma ^ 2alpha ^ 2

# = (alphabeta + betagamma + gammaalfa) ^ 2-2alphabetagamma (alfa + beta + gamma) = (-7) ^ 2-2 (4) (0) = 49 #

# alpha ^ 4 + beta ^ 4 + gamma ^ 4 #

# = (alfa ^ 2 + beta ^ 2 + gamma ^ 2) ^ 2-2 (alpha ^ 2beta ^ 2 + beta ^ 2gamma ^ 2 + gamma ^ 2alfa ^ 2) = 14 ^ 2-2 (49) = 196- 98 = 98 #