Pregunta # 39008

Resposta:

Les dimensions de la caixa són # 11.1 cm xx52cmxx6cm #, però aquesta caixa només existeix al meu cap. No hi ha cap cas en realitat.

Explicació:

Sempre ajuda a dibuixar un diagrama.

Originalment, la caixa tenia dimensions # l # (longitud, que no es coneix) i # w (amplada, també desconeguda). No obstant això, quan tallem els quadrats de longitud #6#, aconseguim això:

Si tinguéssim les zones vermelles cap amunt per formar els costats de la caixa, la caixa tindria alçada #6#. L’amplada de la caixa seria # w-12 + 6 + 6 = w #, i la longitud seria # l-12 #. Sabem # V = lwh #, tan:

# V = (l-12) (w) (6) #

Però el problema diu que el volum és #3456#, tan:

# 3456 = 6w (l-12) #

Ara tenim aquest sistema:

# 1200 = lw "equació 1" #

# 3456 = 6w (l-12) "equació 2" #

Resolució de # w a l'equació 1, tenim:

# w = 1200 / l #

Connecteu-ho per # w a l'equació 2, tenim:

# 3456 = 6w (l-12) #

# 3456 = 6 (1200 / l) (l-12) #

# 3456 = (7200 / l) (l-12) #

# 3456 = 7200-86400 / l

# 86400 / l = 3744 #

# 86400 = 3744l-> l ~~ 23.1 # cm

Ho sabem # w = 1200 / l #, i podem utilitzar això per solucionar l’amplada:

# w = 1200 / 23.1 ~~ 52 # cm

Tingueu en compte que aquestes són les dimensions a la fulla de metall original. Quan traiem el #6# cm quadrats per formar la caixa, la longitud canvia #12#. Per tant, la longitud de la caixa és #23.1-12=11.1# cm.

Quan comproveu les dimensions de # lxxwxxh-> 11.1cmxx52cmxx6cm #, veuràs que el volum està apagat una mica, a causa de l’arrodoniment.

# "El volum de la caixa" = 3456cm ^ 3 #

# "L'alçada de la caixa" = 6 cm

# "L'àrea base de la caixa" #

# = "El seu volum" / "alçada" = 3456/6 = 576cm ^ 2 #

Ara deixeu la longitud de la caixa a cm i la seva amplada b cm.

Llavors # ab = 576 ….. (1) #

Per mantenir el volum i l’altura de la caixa en un valor determinat és àrea de base # axxb # ha de ser arreglat a # 576cm ^ 2 #

# "Àrea ara dels seus 4 costats" #

# = 2 (a + b) 6 = 12 (a + b) cm ^ 2

Per construir el quadre 4 quadrats de dimensió # (6xx6) cm ^ 2 # s’han tallat.

Tan

# ab + 12 (a + b) + 4 * 6 * 6 = "Àrea del full" … (2) #

Ara vegem què passa si intentem esbrinar-ho a i b utilitzant l’equació (1) i (2).

Combinant (1) i (2) obtenim

# 576 + 12 (a + b) + 144 = "àrea de fulla" = 1200 #

# => 12 (a + b) = 1200-576-144 = 480 #

# => a + b = 40 #

Ara proveu d'esbrinar-ho # a-b #

# (a-b) ^ 2 = (a + b) ^ 2-4ab = 40 ^ 2-4 * 576 #

# => (a-b) ^ 2 = 1600-2304 <0 #

Això demostra que la solució real no és possible amb l'àrea de fulla de 1200 cm ^ 2.

Però és possible una solució real amb un valor mínim del perímetre de la base de la caixa, és a dir,# 2 (a + b) # és a dir.# a + b #

# "Ara" (a + b) = (sqrta-sqrtb) ^ 2 + 2sqrt (ab) #

per a valors reals de a i b, # (a + b) # serà mínim si i sol # (sqrta-sqrtb) = 0 => a = b # #color (vermell) ("com" ab = "constant") #

Això dóna # axxb = 576 => a ^ 2 = 576 #

# => a = 24cm #

i # b = 24cm #

Llavors per relació (2)

# "Àrea del full" = ab + 12 (a + b) + 144 #

# = 576 + 12 * (24 + 24) + 144 = 1296cm ^ 2 #

Ara amb aquesta àrea de full de # 1296cm ^ 2 # el problema es pot resoldre.

I la dimensió de la caixa llavors serà

# 24cmxx24cmxx6cm #