Les ciutats A i B es troben a 16 quilòmetres de distància. Quants punts hi ha a 10 milles de la ciutat A i 12 milles de la ciutat B?

Resposta:

Es tracta essencialment de la intersecció de 2 cercles, de manera que podem tenir 0, 1 o 2 punts d'intersecció. En aquesta pregunta tenim 2.

Explicació:

Anem a imaginar-ho imaginant-nos que estem construint tanques al voltant de les ciutats A i B.

El primer que cal comprovar és si una tanca al voltant de la ciutat A (que anomenaré la tanca A) i al voltant de la ciutat B (que anomenaré la tanca B) es tallarà entre si.

Com que estem construint tanques que es troben a la mateixa distància de tots els pobles respectius, estem construint tanques rodones.

Així que ara hi ha 3 respostes possibles:

• si les ciutats són un pare a part de la distància que arriba cada tanca, no tocaran,
• si les ciutats són exactament la distància que separen les dues tanques, les tanques es tallaran en un lloc i
• si les ciutats són més properes que les 2 tanques, les tanques es tallaran en dos llocs.

Atès que Fence A arribarà a 10 milles cap a Town B i Fence B arribarà als 12 quilòmetres cap a la ciutat A, els 2 arriben a les 22 milles. Però les ciutats estan a menys de 22 quilòmetres de distància: es troben a 16 quilòmetres de distància, de manera que les tanques es tallaran en dos llocs.

(Imagineu la ciutat A a l’esquerra i el cercle al voltant és la tanca A. La ciutat B es troba a la dreta i el cercle al voltant és la tanca B.)

Hauria d’observar (gràcies a @George C per aconseguir-ho) que la solució que vaig donar suposa que la distància entre les dues ciutats és relativament gran en comparació amb els radis de les dues tanques. Si les ciutats estiguessin relativament properes en comparació amb els ràdios de les tanques, llavors tindríem les mateixes 3 solucions potencials de 0, 1 i 2 punts d'intersecció, però les tanques podrien ser 1 completament dins de l'altra (així que no hi ha punts), podria tocar en un punt o podia creuar-se i tenir 2 punts.