Com s'utilitza la fórmula binomial per expandir [x + (y + 1)] ^ 3?

Resposta:

# x ^ 3 + y ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + 3x ^ 2 + 3y ^ 2 + 6xy + 3x + 3y + 1 #

Aquest binomi té la forma # (a + b) ^ 3 #

Ampliem el binomi aplicant aquesta propietat:

# (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #.

On es dóna un binomi donat # a = x # i # b = y + 1 #

Tenim:

# x + (y + 1) ^ 3 = #

# x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (i + 1) ^ 2 + (i + 1) ^ 3 # comenta (1)

A l’ampliació anterior s’han de expandir dos binomis

# (y + 1) ^ 3 # i # (y + 1) ^ 2 #

Per # (y + 1) ^ 3 # hem d’utilitzar la propietat cubed anterior

Tan # (y + 1) ^ 3 = y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1 #. Observa-ho com (2)

Per # (y + 1) ^ 2 # hem d’utilitzar el quadrat de la suma que diu:

# (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

Tan # (y + 1) ^ 2 = y ^ 2 + 2y + 1 #. Observa-ho com (3)

Substituint (2) i (3) a l’equació (1) tenim:

# x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (i + 1) ^ 2 + (i + 1) ^ 3 #

# = x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (i ^ 2 + 2y + 1) + (i ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1) #

# = x ^ 3 + 3x ^ 2y + 3x ^ 2 + 3xy ^ 2 + 6xy + 3x + y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1 #

Hem d’afegir els termes similars, però en aquest polinomi no tenim termes similars, podem ordenar els termes.

Així, # x + (y + 1) ^ 3 = x ^ 3 + y ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + 3x ^ 2 + 3y ^ 2 + 6xy + 3x + 3y + 1 #