Quin és el valor mínim de g (x) = (x-1) / (x ^ 2 + 4)? sobre l'interval [-2,2]?

Resposta:

El valor mínim és a # x = 1-sqrt 5 aproximadament "-" 1.236 #;

#g (1 - sqrt 5) = - (1+ sqrt 5) / (8) aproximadament "-" 0,405 #.

Explicació:

En un interval tancat, les ubicacions possibles per a un mínim seran:

• un mínim local dins de l’interval, o
• els punts finals de l’interval.

Per tant, calculem i comparem valors per a #g (x) # en qualsevol #x a "-2", 2 # que fà #g '(x) = 0 #, així com a #x = "- 2" # i # x = 2 #.

Primer: què és #g '(x) #? Utilitzant la regla del quocient, obtenim:

#g '(x) = ((1) (x ^ 2 + 4) - (x-1) (2x)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#color (blanc) (g '(x)) = (x ^ 2 + 4-2x ^ 2 + 2x) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#color (blanc) (g '(x)) = - (x ^ 2-2x-4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

Això serà igual a zero quan el numerador sigui zero. Per la fórmula quadràtica, obtenim

# x ^ 2-2x-4 = 0 "" => "" x = 1 + -sqrt 5 aprox {"-1.236", 3.236} #

Només un d’aquests # x #-values està a #'-2',2#, i això és # x = 1-sqrt 5 #.

Ara, calculem:

1. #g ("- 2") = ("-" 2-1) / (("- 2") ^ 2 + 4) = "- 3" / 8 = "-" 0,375 #

2. #g (1 - sqrt 5) = (1 - sqrt 5 -1) / ((1 - sqrt 5) ^ 2 + 4) = ("-" sqrt 5) / (1-2 sqrt 5 + 5 + 4) #

#color (blanc) (g (1 - sqrt 5)) = - (sqrt 5) / (10-2sqrt 5) = - (sqrt 5) / ((2) (5-sqrt5)) * color (blau) ((5 + sqrt 5) / (5+ sqrt 5)) #

#color (blanc) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 + 5 sqrt 5) / (2 * (25-5) #

#color (blanc) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 (1 + sqrt5)) / (40) = - (1 + sqrt 5) / (8) aproximadament "-" 0,405 #

3. #g (2) = (2-1) / (2 ^ 2 + 4) = 1/8 = 0,125 #

Comparant aquests tres valors de #g (x) #, ho veiem #g (1-sqrt 5) # és el més petit. Tan # - (1+ sqrt 5) / 8 # és el nostre valor mínim per a #g (x) # endavant #'-'2, 2#.