Interval de e ^ x / ([x] +1), x> 0 i on [x] denota el nombre sencer més gran?

Resposta:

#f: (0, + oo) -> (1/2, + oo) #

Explicació:

Assumeixo # x # és el nombre enter més petit més gran que # x #. A la resposta següent, utilitzarem la notació #ceil (x) #, anomenada funció del sostre.

Deixar #f (x) = e ^ x / (ceil (x) +1) #. Des de # x # és estrictament més gran que #0#, això significa que el domini de # f # és # (0, + oo) #.

Com #x> 0 #, #ceil (x)> 1 # i des de llavors # e ^ x # sempre és positiu, # f # sempre és estrictament més gran que #0# en el seu domini. És important assenyalar-ho # f # és no injectiu i no és pas continu en els nombres naturals. Per demostrar això, anem # n # ser un nombre natural:

# R_n = lim_ (x-> n ^ +) f (x) = lim_ (x-> n ^ +) e ^ x / (ceilx + 1) #

Perquè #x> n #, #ceil (x) = n + 1 #.

# R_n = e ^ n / (n + 2) #

# L_n = lim_ (x-> n ^ -) f (x) = lim_ (x-> n ^ -) e ^ x / (ceilx + 1) #

De la mateixa manera, #ceil (x) = n #.

#L_n = e ^ n / (n + 1) #

Atès que els límits de l’esquerra i de la dreta no són iguals, # f # no és continu en els enters. A més, #L> R # per a tot #n en NN #.

Com # f # està augmentant en intervals limitats pels enters positius, els "valors més petits" per interval seran com # x # s'apropa al límit inferior de la dreta.

Per tant, el valor mínim de # f # serà

# R_0 = lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) e ^ x / (ceil (x) +1) = e ^ 0 / (0 + 2) = 1 / 2 #

Aquest és el límit inferior del rang de # f #.

Tot i que no és veritat correcte dir això # f # augmenta, és en el sentit, asimptòticament, s'aproxima al infinit, com es demostra a continuació:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) e ^ x / (ceil (x) +1) #

Com #ceilx> = x #, hi ha un #delta <1 # de tal manera que # ceilx = x + delta #:

# = lim_ (x-> oo) e ^ x / (x + delta + 1) #

Deixar #u = x + delta + 1 => x = u-delta-1 #.

# = lim_ (u-> oo) e ^ (u-delta-1) / u = lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) #

# e ^ u # augmenta exponencialment mentre # u # ho fa de forma lineal, és a dir

#lim_ (u-> oo) e ^ u / u = oo #

#:. lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) = oo * 1 / e ^ (delta + 1) = oo #

#:. lim_ (x-> oo) f (x) = oo #

Per tant, el rang de # f # és

# "Interval" = (1/2, oo) #

L’interval s’obre a l’esquerra perquè #http: // 2 # és encara #f (0) #, i com # x # enfocaments #0^+#, #f (x) # només s'apropa #http: // 2 #; mai realment és igual.