Per què la funció no és diferenciable?

Resposta:

#A) # La derivada no existeix

#B) # Sí

#C) # No

Explicació:

Pregunta A

Podeu veure-ho de diverses maneres diferents. O bé, podem diferenciar la funció per trobar:

#f '(x) = 6/5 (x-2) ^ (- 3/5) = 6 / (5 (x-2) ^ (3/5)) #

que no està definit a # x = 2 #.

O bé, podem mirar el límit:

#lim_ (h-> 0) (f (2 + h) -f (2)) / h = lim_ (h-> 0) (3 (2 + h-2) ^ (2/5) -3 (2 -2) ^ (3/5)) / h = #

# = lim_ (h-> 0) 0 / h #

Aquest límit no existeix, el que significa que la derivada no existeix en aquest punt.

Pregunta B

Sí, s'aplica el teorema del valor mitjà. La condició de diferenciabilitat en el teorema del valor mitjà només requereix que la funció sigui diferenciable en l'interval obert # (a, b) # (IE no # a # i # b # ells mateixos), per l’interval #2,5#, el teorema s’aplica perquè la funció és diferenciable en l’interval obert #(2,5)#.

També podem veure que hi ha de fet un punt amb el pendent mitjà en aquest interval:

Pregunta C

Com es va esmentar anteriorment, el teorema del valor mitjà requereix que la funció sigui totalment diferenciable en l'interval obert #(1,4)#, i hem esmentat anteriorment que la funció no és diferenciable a # x = 2 #, que es troba en aquest interval. Això significa que la funció no és diferenciable en l’interval, i per tant no s’aplica el teorema del valor mitjà.

També podem veure que no hi ha cap punt en l’interval que conté la inclinació mitjana d’aquesta funció, a causa de la "corba aguda" de la corba.