El vint per cent dels clients d'una gran perruqueria són dones. En una mostra aleatòria de 4 clients, quina és la probabilitat que exactament 3 clients siguin femenins?

Resposta:

# 4 cdot (0.2) ^ 3

Explicació:

Podríem tenir la temptació d’enumerar tots els resultats possibles i calcular les seves probabilitats: després de tot, si hem de provar #3# femelles # F # de quatre clients, les possibilitats són

# (F, F, F, M), (F, F, M, F), (F, M, F, F), (M, F, F, F) #

Cada client és femení amb probabilitat #0.2#, i per tant masculí amb probabilitat #0.8#. Per tant, cada quadruplet que acabem d'escriure té probabilitat

# 0.2 cdot0.2 cdot0.2 cdot0.8 = (0.2) ^ 3 cdot 0.8 #

Com que tenim quatre esdeveniments amb aquesta probabilitat, la resposta serà

# 4 cdot (0.2) ^ 3

Però, i si els números fossin molt més grans? La llista de tots els esdeveniments possibles esdevindria ràpidament una bona feina. Per això tenim models: aquesta situació es descriu per un model bernoullian, el que significa que si volem aconseguir-ho # k # èxits a # n # experiments amb probabilitat d’èxit # p #, llavors la nostra probabilitat és

#P = ((n), (k)) p ^ k (1-p) ^ {n-k} #

on

# ((n), (k)) = frac {n!} {k! (n-k)!} # i #n! = n (n-1) (n-2) … 3

En aquest cas, # n = 4 #, # k = 3 # i # p = 0,2 #, tan

#P = ((4), (3)) 0,2 ^ 3 (0,8) = 4