Resposta:
Consulteu l'explicació
Explicació:
És fàcil veure-ho
# x ^ 4-18x ^ 2 + 81 = (x ^ 2) ^ 2-2 * 9 * x ^ 2 + 9 ^ 2 = 0 => (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 #
Per tant, tenim això # (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 => x ^ 2-9 = 0 => x = 3 o x = -3 #
Tingueu en compte les arrels # x_1 = 3, x_2 = -3 # tenir multiplicitat de #2#
perquè tenim un polinomi de quart grau.
Resposta:
#x = + -3 #
Explicació:
Normalment, per resoldre un polinomi de grau 4 com el que hi ha aquí, heu de fer una divisió sintètica i utilitzar molts teoremes i regles: es converteix en una mica desordenat. Tanmateix, aquesta és especial perquè en realitat podem convertir-la en una equació quadràtica.
Ho fem fent-ho #u = x ^ 2 #. No et preocupis per on # u # venia de; és només una cosa que fem servir per simplificar el problema. Amb #u = x ^ 2 #, el problema es converteix
# u ^ 2-18u + 81 = 0 #.
No sembla que sigui millor? Ara estem davant d’una equació quadràtica agradable i senzilla. De fet, aquest és un quadrat perfecte; és a dir, quan ho fas, ho aconsegueixes # (u-9) ^ 2 #. Per descomptat, podríem utilitzar la fórmula quadràtica o completar el quadrat per resoldre aquesta equació, però normalment no teniu la sort de tenir un quadrat quadrat perfecte - així que aprofiteu. En aquest punt, tenim:
# (u-9) ^ 2 = 0 #
Per resoldre, prenem l’arrel quadrada dels dos costats:
#sqrt ((u-9) ^ 2) = sqrt (0) #
I això simplifica
# u-9 = 0 #
Finalment, afegim 9 a ambdues parts per aconseguir-ho
#u = 9 #
Impressionant! Casi allà. Tanmateix, el nostre problema original ha estat # x #s en ell i la nostra resposta té una # u # en ell. Hem de convertir #u = 9 # a #x = # alguna cosa. Però no tingueu por! Recordeu al principi que vam dir #u = x ^ 2 #? Bé, ara que tenim la nostra # u #, només el tornem a connectar per trobar el nostre # x #. Tan, #u = x ^ 2 #
# 9 = x ^ 2 #
#sqrt (9) = x #
#x = + -3 # (perquè #(-3)^2 = 9# i #(3)^2 = 9#)
Per tant, les nostres solucions són #x = 3 # i #x = -3 #. Tingues en compte que #x = 3 # i #x = -3 # són arrels dobles, de manera que tècnicament totes les arrels són #x = 3 #, #x = 3 #, #x = -3 #, #x = -3 #.
