Resposta:
La línia tangent és paral·lela a la # x # eix quan la inclinació (d'aquí # dy / dx #) és zero i és paral·lel a la # y # eix quan la pendent (de nou, # dy / dx #) va a # oo # o bé # -o #
Explicació:
Començarem per trobar # dy / dx #:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
# d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) #
# 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0 #
# dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) #
Ara, # dy / dx = 0 # quan el nuimerator és #0#, sempre que això no sigui el denominador #0#.
# 2x + y = 0 # Quan #y = -2x #
Tenim ara dues equacions:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
#y = -2x #
Resol (per substitució)
# x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 #
# x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 #
# 3x ^ 2 = 7 #
#x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 #
Utilitzant #y = -2x #, obtenim
La tangent a la corba és horitzontal en els dos punts:
# (sqrt21 / 3, - (2sqrt21) / 3) # i # (- sqrt21 / 3, (2sqrt21) / 3) #
(Observeu que aquests parells tampoc no fan el denominador de # dy / dx # igual a #0#)
Per trobar els punts en què la tangent és vertical, feu el denominador de # dy / dx # igual tpo #0# (sense fer el numerador #0#).
Podríem passar per la solució, però la simetria de l’equació que obtindrem:
# x = -2y #, tan
#y = + - sqrt21 / 3 #
i els punts de la corba en què la tangent és vertical són:
# (- (2sqrt21) / 3, sqrt21 / 3) # i # ((2sqrt21) / 3, -sqrt21 / 3) #
A propòsit. Com que tenim la tecnologia, aquí teniu el gràfic d’aquesta el·lipse girada: (Tingueu en compte que # + - sqrt21 / 3 ~~ + - 1.528 # que podeu veure al gràfic.)
gràfic {x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11.3, 11.2, -5.665, 5.585}
Resposta:
Utilitzant només matemàtiques de l'escola mitjana que tinc
Tangents paral·leles a l'eix x en:
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) i (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Tangents paral·leles a l'eix y a:
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) i (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Explicació:
Vaig mirar a la resposta de Jim, que sembla un bon tractament de càlcul normal. Però no podia deixar de sentir-me trist per tots els estudiants de secundària que hi ha a la terra socràtica que volen trobar tangents de corbes algebraiques, però que encara es troben a anys de distància del càlcul.
Afortunadament, poden fer aquests problemes utilitzant només Àlgebra I.
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
Pot ser que sigui una mica complicat per a un primer exemple, però anem a fer-ho. Escrivim la nostra corba com #f (x, y) = 0 # on
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2-7 #
Anem a prendre # (r, s) # com a punt # f #. Volem investigar # f # a prop # (r, s) # així que escrivim
#f (x, y) = f (r + (x-r), s + (i-s)) #
# = (r + (x-r)) ^ 2 + (r + (x-r)) (s + (i-s)) + (s + (i-s)) ^ 2-7 #
Ens ampliem, però no ampliem els termes de la diferència # x-r # i # y-s #. Volem mantenir aquells intactes perquè puguem experimentar eliminant alguns més endavant.
#f (x, y) = r ^ 2 + 2r (xr) + (xr) ^ 2 + (rs + s (xr) + r (ys) + (xr) (ys)) + s ^ 2 + 2s (ys) + (ys) ^ 2-7 #
# = (r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7) + (2r + s) (xr) + (2s + r) (ys) + (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 + (xr) (ys) #
# = f (r, s) + (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (i-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Nosaltres vam dir # (r, s) # està activat # f # tan #f (r, s) = 0 #.
#f (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (i-s) ^ 2 + (x-r) (i-s) #
Hem ordenat els termes per grau i podem experimentar aproximacions a # f # a prop # (r, s) # deixant caure els graus més alts. La idea és quan # (x, y) # està a prop # (r, s) # llavors # x-r # i # y-s # són petites, i els seus quadrats i productes són encara més petits.
Només generem algunes aproximacions a # f #. Des de # (r, s) # està a la corba, l’aproximació constant, deixant anar tots els termes de la diferència, és
# f_0 (x, y) = 0 #
Això no és especialment emocionant, però ens indica correctament els punts propers # (r, s) # donarà un valor proper a zero per a # f #.
Anem a interessar-nos i mantenir els termes lineals.
# f_1 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Quan establim això a zero, obtenim la millor aproximació lineal a # f # a prop # (r, s), # que és el línia tangent a # f # a # (r, s). # Ara arribem a algun lloc.
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
També podem considerar altres aproximacions:
# f_2 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 #
# f_3 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Són tangents d’ordre superior, aquells als quals els estudiants de matemàtiques universitaris gairebé no arriben. Ja hem anat més enllà del càlcul universitari.
Hi ha més aproximacions, però se m'adverteix que això es fa llarg. Ara que hem après a fer càlculs utilitzant només Algebra I, fem el problema.
Volem trobar els punts on la línia tangent és paral·lela a la # x # eix i # y # eix.
Hem trobat la nostra línia tangent a # (r, s) # és
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Paral·lel a la # x # eix significa una equació #y = text {constant} #. Així, el coeficient de # x # ha de ser zero:
# 2r + s = 0 #
#s = -2r #
# (r, s) # està a la corba així #f (r, s) = 0 #:
# r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0 #
# r ^ 2 + r (-2r) + (-2r) ^ 2 - 7 = 0 #
#r = pm sqrt {7/3} #
Des de # s = -2r # els punts són
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) i (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Igualment, significa paral·lel a l’eix y # 2s + r = 0 # que només hauria de canviar x i y a causa de la simetria del problema. Així, doncs, els altres punts
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) i (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Comproveu.
Com comprovar? Fem una trama Alpha.
diagrama x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7, x = -sqrt {7/3}, y = 2 sqrt {7/3}, x = 2sqrt {7/3}, y = -sqrt {7/3 }
Té bona pinta. Càlcul sobre corbes algebraiques. Molt bo per a l'escola mitjana.
