Pregunta # 9be0d

Resposta:

Aquesta equació és una aproximació de l'energia relativista d'una partícula per a velocitats baixes.

Explicació:

Assumeixo alguns coneixements sobre la relativitat especial, és a dir, que l’energia d’una partícula en moviment observada des d’un marc inercial és donada per # E = gammamc ^ 2 #, on? # gamma = 1 / sqrt (1- (v / c) ^ 2) # el factor Lorentz. Aquí # v # és la velocitat de la partícula observada per un observador en un marc inercial.

Una eina d'aproximació important per als físics és l'aproximació de la sèrie de Taylor. Això vol dir que podem aproximar una funció #f (x) # per #f (x) approxsum_ (n = 0) ^ N (f ^ ((n)) (0)) / (n!) x ^ n #, més gran # N, millor l’aproximació. De fet, per a una gran classe de funcions llises aquesta aproximació es fa exacta com # N va a # oo #. Tingues en compte que #f ^ ((n)) # significa el desè derivat de # f #.

Aproximem la funció #f (x) = 1 / sqrt (1-x) # per a petits # x #, observem que si # x # és petit, # x ^ 2 # serà encara més petita, de manera que suposem que podem ignorar els factors d’aquest ordre. Així ho tenim #f (x) aproxf (0) + f '(0) x # (aquesta aproximació particular també es coneix com aproximació de Newton). #f (0) = 0 # i #f '(x) = 1 / (2 (1-x) ^ (3/2)) #, tan #f '(0) = 1/2 #. Per tant #f (x) aproximadament1 + 1 / 2x #.

Ara ho notem # gamma = f ((v / c) ^ 2) #. De fet si # v # és petit en relació amb # c #, que serà en situacions diàries, l’aproximació, així que # gammaapprox1 + 1/2 (v / c) ^ 2 #. Substituint-ho en l’equació de l’energia total d’una partícula # Eapproxmc ^ 2 + 1 / 2mv ^ 2 #. Això ens proporciona l'energia cinètica #E_ ("parent") = E-E_ "rest" aproxmc ^ 2 + 1 / 2mv ^ 2-mc ^ 2 = 1 / 2mv ^ 2 # per a velocitats baixes, que és coherent amb les teories clàssiques. Per a velocitats més altes, és convenient utilitzar més termes de la sèrie de Taylor, acabant amb les anomenades correccions relativistes de l'energia cinètica.