Com és diferent la substitució trigonomètrica de la substitució u?

Resposta:

En general, la substitució de trigues es fa servir per a les integrals de la forma # x ^ 2 + -a ^ 2 # o bé #sqrt (x ^ 2 + -a ^ 2) #, mentre # u #-La substitució s'utilitza quan la funció i la seva derivada apareixen a la integral.

Explicació:

Trobo els dos tipus de substitucions molt fascinants a causa del raonament que hi ha darrere. Considereu, primer, la substitució de trigs. Això deriva del teorema de Pitàgores i de les identitats pitagòriques, probablement els dos conceptes més importants en trigonometria. Utilitzem això quan tenim alguna cosa com:

# x ^ 2 + a ^ 2 -> # on # a # és constant

#sqrt (x ^ 2 + a ^ 2) -> # de nou assumint # a # és constant

Podem veure que aquests dos semblen molt semblants # a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 #, que és el teorema de Pitàgores. Relaciona els dos costats d’un triangle dret amb la hipotenusa del triangle. Si ho traiem, podem veure que sí, # x ^ 2 + a ^ 2 # es pot representar amb un triangle:

La imatge és molt útil, perquè ens diu # tantheta = x / a #, o # atantheta = x #; això constitueix la base de la substitució de trigs. A més (i aquí és on es fa impressionant), quan ho substituïu # x = tantheta # a # x ^ 2 + a ^ 2 #, en aquest cas, acabes amb una identitat pitagòrica # tan ^ 2theta + 1 = sec ^ 2theta #. A continuació, podeu fer algunes simplificacions de # sec ^ 2theta # si ho necessiteu, i la integral és allà fàcil. El mateix passa amb els casos # x ^ 2-a ^ 2 #, # a ^ 2-x ^ 2 #, #sqrt (x ^ 2-a ^ 2) #, i #sqrt (a ^ 2-x ^ 2) #.

Podeu utilitzar el sub trig. per a molts problemes, però podeu utilitzar-lo # u #-Substitució, sens dubte, encara més. Utilitzem aquesta tècnica quan tenim alguna cosa així # intlnx / xdx #. Si som observadors, veiem que tenim dues funcions: # lnx # i # 1 / x #. I si recordem els nostres derivats bàsics, ho sabem # d / dxlnx = 1 / x # per #x> 0 # (o # d / dxlnabs (x) = 1 / x # per #x! = 0 #). Així que la idea és dir let # u = lnx #; llavors # (du) / dx = 1 / x # i # du = dx / x #. El problema, després de fer aquestes substitucions, és simplificat # intudu # - Una integral molt més fàcil que abans.

Tot i que aquestes dues tècniques poden ser diferents, totes dues tenen el mateix propòsit: reduir una integral a una forma més senzilla perquè puguem utilitzar tècniques bàsiques. Estic segur que la meva explicació no és suficient per incloure tots els detalls específics sobre aquestes substitucions, així que convido altres persones a contribuir.