Resposta:
Convergeix a # 1 + i # (a la meva calculadora gràfica Ti-83)
Explicació:
Deixar # S = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
En primer lloc, suposant que aquesta sèrie infinita convergeix (és a dir, suposant que S existeix i pren el valor d’un nombre complex), # S ^ 2 = -2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}} #
# S ^ 2 + 2 = 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}} #
frac {S ^ 2 + 2} {2} = S
I si solucioneu S:
# S ^ 2 + 2 = 2S, S ^ 2 - 2S + 2 = 0
i aplicant la fórmula quadràtica obteniu:
# S = frac {2 pm sqrt {4-8}} {2} = frac {2 pm sqrt {-4}} {2} = frac {2 pm 2i} {2} = 1 pm
Normalment, la funció arrel quadrada pren el valor positiu així # S = 1 + i #
Per tant, si convergeix llavors ha de convergir a # 1 + i #
Ara tot el que heu de fer és demostrar que convergeix o si sou mandrós com jo, llavors podeu connectar-vos # sqrt {-2} # en una calculadora que pot gestionar números imaginaris i utilitzar la relació de recurrència:
# f (1) = sqrt {-2} #
# f (n + 1) = sqrt {-2 + 2 _sqrt {f (n)} #
He repetit moltes vegades en el meu Ti-83 i he trobat que s'aproxima, per exemple, després de repetir-ho en algun lloc com 20 vegades que he arribat aproximadament
# 1.000694478 + 1.001394137i #
aproximació molt bona
