Una partícula es llança sobre un triangle des d’un extrem d’una base horitzontal i la pastura del vèrtex cau a l’altre extrem de la base. Si l'alfa i la beta siguin els angles base i el teta és l’angle de projecció, Demostreu que tan theta = tan alfa + tan beta?

Tenint en compte que es tira una partícula angle de projecció # theta # sobre un triangle # DeltaACB # des d’un dels seus finals # A # de la base horitzontal # AB # alineada al llarg de l'eix X i finalment cau a l'altre extrem # B #de la base, pasturant el vèrtex #C (x, y) #

Deixar # u # ser la velocitat de projecció, # T # ser el moment del vol, # R = AB # ser l’abast horitzontal i # t # sigui el temps que pren la partícula per arribar a C # (x, y) #

El component horitzontal de la velocitat de projecció # -> ucostheta #

El component vertical de la velocitat de projecció # -> usintheta #

Considerant el moviment sota gravetat sense cap resistència a l’aire, podem escriure

# y = usinthetat-1/2 g t ^ 2 ….. 1 #

# x = ucosthetat ………………. 2 #

combinarem 1 i 2

# y = usinthetaxxx / (ucostheta) -1/2 xxgxxx ^ 2 / (u ^ 2cos ^ 2theta) #

# => y = usinthetaxxx / (ucostheta) -1/2 xxgxxx ^ 2 / u ^ 2xxsec ^ 2theta #

# => color (blau) (i / x = tantheta - ((gsec ^ 2theta) / (2u ^ 2)) x …….. 3) #

Ara durant el temps de vol # T # el desplaçament vertical és zero

Tan

# 0 = usinthetaT-1/2 g T ^ 2 #

# => T = (2usintheta) / g #

Per tant, el desplaçament horitzontal durant el temps de vol és a dir, l’interval

# R = ucosthetaxxT = ucosthetaxx (2usintheta) / g = (u ^ 2s22eta) / g #

# => R = (2u ^ 2tantheta) / (g (1 + tan ^ 2theta)) #

# => R = (2u ^ 2tantheta) / (gsec ^ 2theta) #

# => color (blau) ((gsec ^ 2theta) / (2u ^ 2) = tantheta / R …… 4) #

Combinem 3 i 4

# y / x = tantheta-1/2 xx (gx) / u ^ 2xxsec ^ 2theta #

# => y / x = tantheta- (xtantheta) / R #

# => tanalpha = tantheta- (xtantheta) / R # des de #color (vermell) (y / x = tanalpha) # de la figura

Tan # tantheta = tanalfaxx (R / (R-x)) #

# => tantheta = tanalphaxx ((R-x + x) / (R-x)) #

# => tantheta = tanalfaxx (1 + x / (R-x)) #

# => tantheta = tanalpha + (xtanalpha) / (R-x) #

# => tantheta = tanalfa + i / (R-x) # posar #color (vermell) (xtanalpha = y) #

Finalment tenim a partir de la figura #color (magenta) (y / (R-x) = tanbeta) #

Per tant, obtenim la nostra relació necessària

#color (verd) (tantheta = tanalpha + tanbeta) #