Es talla una corda de 20 cm de longitud en dues peces. Una de les peces s’utilitza per formar un perímetre d’un quadrat?

Resposta:

# "Àrea total mínima = 10.175 cm²." #

# "Àrea total màxima = 25 cm²." #

Explicació:

# "Nom x la longitud de la peça per formar un quadrat." #

# "Llavors, l'àrea del quadrat és" (x / 4) ^ 2 ".

# "El perímetre del triangle és" 20-x "." #

# "Si y és un dels costats iguals del triangle, llavors tindrem" #

# 2 * y + sqrt (y ^ 2 + y ^ 2) = 20-x #

# => y * (2 + sqrt (2)) = 20-x #

# => y = (20-x) / (2 + sqrt (2)) #

# => àrea = y ^ 2/2 = (20-x) ^ 2 / ((4 + 2 + 4 sqrt (2)) * 2) #

# = (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# "Àrea total =" (x / 4) ^ 2 + (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# = x ^ 2/16 + x ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) - 40 x / (12 + 8 sqrt (2)) + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# = x ^ 2 (1/16 + 1 / (12 + 8sqrt (2))) - (40 / (12 + 8sqrt (2))) x + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# "Aquest és un parabole i el mínim per a un parabole" #

#a x ^ 2 + b x + c = 0 "és" x = -b / (2 * a) ", si a> 0"

# "El màxim és" x-> oo ", si és> 0".

# "Així que el mínim és" #

#x = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / (1/8 + 1 / (6 + 4sqrt (2))) #

# = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / ((6 + 4sqrt (2) +8) / (8 (6 + 4sqrt (2)))) #

# = 160 / (14 + 4 sqrt (2)) #

# = 160 * (14-4 sqrt (2)) / (196-32) #

# = (160/164) * (14-4 * sqrt (2)) #

# = (80/41) * (7-sqrt (8)) #

# = 8.13965 "cm" #

# => "Àrea total =" 10.175 "cm²." #

# "El màxim és x = 0 o x = 20".

# "Comprobem la zona:" #

# "Quan" x = 0 => "area =" 400 / (12 + 8sqrt (2)) = 17.157 "cm²" #

# "Quan" x = 20 => "area =" 5 ^ 2 = 25 "cm²" #

# "Per tant, la superfície total màxima és de 25 cm²." #

Resposta:

L’àrea mínima és #10.1756# i el màxim és #25#

Explicació:

El perímetre d’un triangle isòsceles de costat dret # a # és # a + a + sqrt2a = a (2 + sqrt2) # i la seva àrea és # a ^ 2/2,

Sigui una peça # x # cm. a partir de la qual formem un triangle isòsceles en angle recte. És evident que el costat del triangle isòsceles en angle recte seria # x / (2 + sqrt2) # i la seva àrea seria

# x ^ 2 / (2 (2 + sqrt2) ^ 2) = x ^ 2 / (2 (6 + 4sqrt2)) #

= # (x ^ 2 (6-4sqrt2)) / (2 (36-32)) = (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

El perímetre d’una altra part de cadena que forma un quadrat és # (20-x) # i com a costat del quadrat # (20-x) / 4 # la seva zona és # (20-x) ^ 2/16 # i superfície total # T # dels dos és

# T = (20-x) ^ 2/16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # (400-40x + x ^ 2) / 16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # 25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) #

Observeu-ho # 3-2sqrt2> 0 #, per tant, coeficient de # x ^ 2 # és positiu i, per tant, tindrem uns mínims i podem escriure # T # com

# T = 0,1054x ^ 2-2,5x + 25 #

= # 0.1054 (x ^ 2-23.7192x + (11.8596) ^ 2) + 25-0.1054xx (11.8596) ^ 2 #

= # 0.1054 (x-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

Com # 0.1054 (x-11.8596) ^ 2 # sempre és positiu, tenim el valor mínim de # T # Quan # x = 11.8596 #.

Observeu que, teòricament, no hi ha màxims per a la funció, sinó com a valor de # x # es troba entre #0,20#, i quan # x = 0 #, tenim # T = 0,1054 (0-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

= # 0.1054xx11.8596 ^ 2 + 10.1756 = 25 #

i quan # x = 20 # Quan # T = 0,1054 (20-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

= # 0.1054xx8.1404 ^ 2 + 10.1756 = 17.16 #

i, per tant, els màxims són #25#

gràfic {25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) -11,92, 28,08, -0,96, 19,04}